微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} \sin 6x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos 2x \hspace{2}}}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 6\cos 6x\cos 2x+2\sin 6x\sin 2x \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}}}$

■ヒント

合成関数の微分の公式を用いて解く．

■解説

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} \sin 6x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos 2x \hspace{2}}}$

分数の導関数の公式を用いる．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} { $ \sin 6x $ }^{\prime }\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\cos 2x- \sin 6x\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{ $ \cos 2x $ }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 6\cos 6x\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\cos 2x- \sin 6x\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} } $ - 2\sin 2x $ \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}}}$

( $3$\displaystyle{{ $ \sin 6x $ }^{\prime }}$ ⇒ここを見る, $3$\displaystyle{{ $ \cos 2x $ }^{\prime }}$ ⇒ここを見る)

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 6\cos 6x\cos 2x+2\sin 6x\sin 2x \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}}}$

●別解

関数 $3$\displaystyle{\sin 6x}$ と関数 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos 2x \hspace{2}}}$ の積と考えて微分する．

$3$\displaystyle{y =\frac{\hspace{2} \sin 6x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos 2x \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{=\sin 6x\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos 2x \hspace{2}}}$

関数の積の公式を用いる．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }={ $ \sin 6x $ }^{\prime }\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos 2x \hspace{2}}+\sin 6x\cdot { $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos 2x \hspace{2}} $ }^{\prime }}$

$3$\displaystyle{=6\cos 6x\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{ $ \cos 2x $ }^{ - 1 }+\sin 6x\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2} 2\sin 2x \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}}$

(分数関数の微分の公式を用いる)

$3$\displaystyle{=6\cos 6x\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos 2x \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} 2\sin 6x\sin 2x \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 6\cos 6x\cos 2x \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} 2\sin 6x\sin 2x \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 6\cos 6x\cos 2x+2\sin 6x\sin 2x \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年6月3日