微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y={x}^{x} }$ ( $3$\displaystyle{x> 0}$ )

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }={x}^{x}\left({ \log x+1 }\right)}$

■ヒント

指数関数の底を $3$\displaystyle{e}$ に変換してから指数関数の微分の公式より，微分する．

$3$\displaystyle{{ $ {a}^{x} $ }^{\prime }={ $ {e}^{ \log {a}^{x} } $ }^{\prime }={e}^{ x\log a }}$ 　　　　　

の式を用いる．

そして，合成関数の微分の公式を利用して解く．

あるいは，対数微分法を用いる方法もある．

■解説

$3$\displaystyle{y={x}^{x}={e}^{ \log {x}^{x} }}$ $3$\displaystyle{={e}^{ x\log x }}$

指数関数の底の変換の仕方を参照

$3$\displaystyle{u=x\log x}$ とおく.

$3$\displaystyle{ y={e}^{u} }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}{e}^{u}={e}^{u}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\left({ x\log x }\right)}$ $3$\displaystyle{=1\cdot \log x+x\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\log x+1}$ 関数の積の微分を参照

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{={e}^{u}\left({ \log x+1 }\right)}$

$3$\displaystyle{={e}^{ x\log x }\left({ \log x+1 }\right)}$

$3$\displaystyle{={x}^{x}\left({ \log x+1 }\right)}$

（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet {e}^{ x\log x }={e}^{ \log {x}^{x} }={x}^{x}}$ ）

●別解

対数微分法を用いる．

$3$\displaystyle{y={x}^{x}}$

の両辺の自然対数をとる．

$3$\displaystyle{\log y=\log {x}^{x}}$

$3$\displaystyle{\log y=x\log x}$

両辺を $3$\displaystyle{x}$ で微分する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\log y=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}x\log x}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=1\cdot \log x+x\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=y\left({ \log x+1 }\right)}$ $3$\displaystyle{={x}^{x}\left({ \log x+1 }\right)}$

【備考】

$3$\displaystyle{z=\log y}$

とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} $ \log y $ =\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{z}$ を

$3$\displaystyle{z=\log y}$ ， $3$\displaystyle{y={x}^{x}}$

の合成関数と考えている．

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最終更新日： 2025年2月21日