複素数の計算

■問題

２つの問題の解(問題1，問題２)を利用して， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} 1+\sqrt{3}i \hspace{2}}{\hspace{2} 1- i \hspace{2}} }$ を極形式で示せ．　

■答

$3$\displaystyle{ \sqrt{2} \{ \cos $ \frac{\hspace{2} 7{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}} $ +i\sin $ \frac{\hspace{2} 7{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}} $ \} }$

■解説

問題を解く前に，極形式とは何かを理解する．　⇒複素平面

$3$\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i }$ の極形式は問題１より

$3$\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i }$ $3$\displaystyle{= 2 $ \cos \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+i\sin \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{1- i}$ の極形式は問題２より

$3$\displaystyle{1- i}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{2} \{ \cos $ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ +i\sin $ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ \} }$

である．よって，与式は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} 1+\sqrt{3}i \hspace{2}}{\hspace{2} 1- i \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 2 $ \cos \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+i\sin \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \{ \cos $ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ +i\sin $ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ \} \hspace{2}} }$

ここで複素数の商の公式を用いる．

$3$\displaystyle{= \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} \{ \cos $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- \( - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ \) +i\sin $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- \( - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ \) \} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} \{ \cos $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ +i\sin $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ \} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} \{ \cos $ \frac{\hspace{2} 4{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} 3{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}} $ +i\sin $ \frac{\hspace{2} 4{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} 3{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}} $ \} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} \{ \cos $ \frac{\hspace{2} 7{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}} $ +i\sin $ \frac{\hspace{2} 7{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}} $ \} }$

最後に分母の有理化を行う．

$3$\displaystyle{ =\sqrt{2} \{ \cos $ \frac{\hspace{2} 7{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}} $ +i\sin $ \frac{\hspace{2} 7{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}} $ \} }$

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最終更新日： 2023年2月25日