複素数の方程式

■問題

複素平面において，方程式

$3$\displaystyle{3\left|{z}\right|=\left|{ z- 8 }\right|}$

を満たす点 $3$z$ の軌跡を求めよ．

■答

点 $3$\displaystyle{- 1}$ を中心とする半径 $3$3$ の円

■ヒント

$3$\left|{z}\right|$ は，原点から点 $3$z$ までの距離． $3$\left|{ z- 8 }\right|$ は，点 $3$ - 8$ から点 $3$z$ までの距離．

$3$\displaystyle{3\left|{z}\right|=\left|{ z- 8 }\right|\Leftrightarrow \left|{z}\right|:\left|{ z- 8 }\right|=1:3}$

■解答

$3$\displaystyle{3\left|{z}\right|=\left|{ z- 8 }\right|}$ ･･････(1)

(1)の両辺を2乗する．

$3$\displaystyle{9{\left|{z}\right|}^{2}={\left|{ z- 8 }\right|}^{2}}$

$3$\displaystyle{9z\bar{z}=\left({ z- 8 }\right)\left({ \bar{ z- 8 } }\right)}$ （∵ $3$\displaystyle{{\left|{z}\right|}^{2}=z\bar{z}}$ 複素数の絶対値を参照）

$3$\displaystyle{9z\bar{z}=\left({ z- 8 }\right)\left({ \bar{z}- 8 }\right)}$ （∵ $3$\displaystyle{\bar{ \alpha - {\beta} }=\bar{\alpha }- \bar{{\beta}}}$ 共役な複素数の基本式を参照）

$3$\displaystyle{9z\bar{z}=z\bar{z}- 8\left({ z+\bar{z} }\right)+64}$

$3$\displaystyle{8z\bar{z}+8\left({ z+\bar{z} }\right)=64}$

$3$\displaystyle{z\bar{z}+z+\bar{z}=8}$

$3$\displaystyle{\left({ z+1 }\right)\left({ \bar{z}+1 }\right)- 1=8}$

$3$\displaystyle{\left({ z+1 }\right)\left({ \bar{ z+1 } }\right)=9}$

$3$\displaystyle{{\left|{ z+1 }\right|}^{2}=9}$

$3$\displaystyle{\left|{ z+1 }\right|=3}$ ･･････(2)

(2)は， $3$\displaystyle{- 1}$ を中心とする半径 $3$3$ の円の方程式である．

■備考

ヒントより，原点から点 $3$z$ までの距離と $3$\left|{ z- 8 }\right|$ は，点 $3$ - 8$ から点 $3$z$ までの距離の比が， $3$\displaystyle{1:3}$ になっている．このことより，点 $3$z$ の軌跡は円（アポロニウスの円）になる．

アポロニウスの円は，原点と点 $3$8$ を結ぶ線分を $3$1:3$ に内分する点と外分する点を結ぶ線分を直径とする円である．

内分点は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} nq+mp \hspace{2}}{\hspace{2} m+n \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 3\cdot 0+1\cdot 8 \hspace{2}}{\hspace{2} 1+3 \hspace{2}}=2}$

外分点は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} - np+mq \hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} - 3\cdot 0+1\cdot 8 \hspace{2}}{\hspace{2} 1- 3 \hspace{2}}=- 4}$

となる．

したがって

円の中心は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 2+\left({ - 4 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=- 1}$

円の半径は

$3$\displaystyle{\left|{ \frac{\hspace{2} 2- \left({ - 4 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right|=3}$

となる．

ホーム>>カテゴリー分類>>複素数>>複素数に関する問題>>複素数の計算

最終更新日：2025年11月27日