2次方程式に関する問題

■問題

次の2次方程式の解を因数分解することにより求めよ．

$3$\displaystyle{{x}^{2}+3x- \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}=0}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{x=- \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

■ヒント

平方完成を利用した因数分解

たすきがけ手法による因数分解の手順

■解説

$3$\displaystyle{{x}^{2}+3x- \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\left({ x+\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\left({ x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$ $3$\displaystyle{=0}$ ･･････(1)

因数分解の計算はここに掲載

(1)が成り立つのは

$3$\displaystyle{x+\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=0}$ ，または， $3$\displaystyle{x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=0}$

である．よって

$3$\displaystyle{x=- \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる．

●異なる因数分解の仕方

定数項が分数であるのでたすき掛けによる因数分解が難しい．よって，与式の両辺に4を掛けてから因数分解をする．

$3$\displaystyle{\left({ {x}^{2}+3x- \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right)\times 4=0\times 4}$

$3$4{x}^{2}+12x- 7=0$

たすきがけ手法による因数分解の手順を参考に因数分解をする．

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\underline{ \begin{array}2& \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ \end{array}\text{\hspace{5}}\times \text{\hspace{5}}\begin{array}7& \vspace{6}\\ - 1 & \vspace{6}\\ \end{array}\text{ }\begin{array}\rightarrow & \vspace{6}\\ \rightarrow & \vspace{6}\\ \end{array}\text{ }\begin{array} 14 & \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ \end{array} }& \vspace{6}\\ 4\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}- 7\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{ }\text{ }\text{\hspace{1}}12& \vspace{6}\\ \end{array}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

より

$3$\displaystyle{\left({ 2x+7 }\right)\left({ 2x- 1 }\right)=0}$

が得られる．よって

$3$\displaystyle{x=- \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる．

●解の公式を用いた場合

解の公式

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} - b\pm \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}}$

を用いる．よって

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2} - 3\pm \sqrt{ {3}^{2}- 4\cdot \left({ - \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right) } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - 3\pm \sqrt{ 16 } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - 3\pm 4 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる．

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最終更新日： 2025年4月18日