ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{y\prime \prime +3y\prime +2y=0}$ 　　(初期条件： $3$\displaystyle{y\left({0}\right)=1}$ ， $3$\displaystyle{{y}^{\prime }\left({0}\right)=0}$ )

■答

$3$\displaystyle{y=2{e}^{ - t }- {e}^{ - 2t }}$

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く．

■解き方

ラプラス変換すると

$3$\displaystyle{y{\rightarrow }\limits^{L}Y\left({s}\right)}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }{\rightarrow }\limits^{L}sY\left({s}\right)- y\left({0}\right)}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }{\rightarrow }\limits^{L}{s}^{2}Y\left({s}\right)- s\cdot y\left({0}\right)- {y}^{\prime }\left({0}\right)}$

となり，これを式に代入

$3$\displaystyle{{s}^{2}Y\left({s}\right)- s\cdot y\left({0}\right)- {y}^{\prime }\left({0}\right)}$ $3$\displaystyle{+3 $ sY\left({s}\right)- \hspace{1}{y}_{ \(0$ } \) }$ $3$\displaystyle{+2Y\left({s}\right)=0}$

初期条件より

$3$\displaystyle{{s}^{2}Y\left({s}\right)- s+3 $ sY\left({s}\right)- 1 $ }$ $3$\displaystyle{+2Y\left({s}\right)=0}$

$3$\displaystyle{ $ {s}^{2}+3s+2 $ Y\left({s}\right)=s+3}$

$3$\displaystyle{Y\left({s}\right)}$
$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} s+3 \hspace{2}}{\hspace{2} {s}^{2}+3s+2 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} s+3 \hspace{2}}{\hspace{2} $ s+2 $ $ s+1 $ \hspace{2}}}$

ここで，部分分数分解をする．

$3$\displaystyle{Y\left({s}\right)=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{k}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} s+2 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{k}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} s+1 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{k}_{1}={ \lim }\limits_{ s\rightarrow - 2 } $ s+2 $ \frac{\hspace{2} s+3 \hspace{2}}{\hspace{2} $ s+2 $ $ s+1 $ \hspace{2}}=- 1}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{k}_{2}={ \lim }\limits_{ s\rightarrow - 1 } $ s+1 $ \frac{\hspace{2} s+3 \hspace{2}}{\hspace{2} $ s+2 $ $ s+1 $ \hspace{2}}=2}$

よって

$3$\displaystyle{Y\left({s}\right)=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+2 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} s+1 \hspace{2}}}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

$3$\displaystyle{y=2{e}^{ - t }- {e}^{ - 2t }}$

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く．

特性方程式

$3$\displaystyle{{{\lambda}}^{2}+3{\lambda}+2=0}$

より

$3$\displaystyle{{\lambda}=- 1,- 2}$

よって一般解は

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{C}_{1}{e}^{ - t }+\hspace{1}{C}_{2}{e}^{ - 2t }}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=- \hspace{1}{C}_{1}{e}^{ - t }- 2\hspace{1}{C}_{2}{e}^{ - 2t }}$

初期条件より

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{C}_{1}+\hspace{1}{C}_{2}=1}$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=- \hspace{1}{C}_{1}- 2\hspace{1}{C}_{2}=0}$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{1}=2,\hspace{1}{C}_{2}=- 1}$

よって

$3$\displaystyle{y=2{e}^{ - t }- {e}^{ - 2t }}$

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最終更新日： 2023年6月6日

$3$\displaystyle{Y\left({s}\right)}$	$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} s+3 \hspace{2}}{\hspace{2} {s}^{2}+3s+2 \hspace{2}}}$
	$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} s+3 \hspace{2}}{\hspace{2} \( s+2 \) \( s+1 \) \hspace{2}}}$