ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }- 10{y}^{\prime }+25y=0}$

(初期条件： $3$\displaystyle{ y\left({0}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ {y}^{\prime }\left({0}\right)=3 }$ )

■答

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 5t } $ t+1 $ }$

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く

■解き方

ラプラス変換すると

$3$\displaystyle{y{\rightarrow }\limits^{L}Y\left({s}\right)}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }{\rightarrow }\limits^{L}sY\left({s}\right)- y\left({0}\right)}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }{\rightarrow }\limits^{L}{s}^{2}Y\left({s}\right)- s\cdot y\left({0}\right)- {y}^{\prime }\left({0}\right)}$

となり，これらを式に代入

$3$\displaystyle{ {s}^{2}Y\left({s}\right)- sy\left({0}\right)- {y}^{\prime }\left({0}\right)- 10 $ sY\left({s}\right)- y\left({0}\right) $ }$ $3$\displaystyle{ +25Y\left({s}\right) }$ $3$\displaystyle{ =0 }$

初期条件より

$3$\displaystyle{{s}^{2}Y\left({s}\right)- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}s- 3- 10sY\left({s}\right)+5+25Y\left({s}\right)=0}$

$3$\displaystyle{ $ {s}^{2}- 10s+25 $ Y\left({s}\right)- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}s+2=0}$

$3$\displaystyle{Y\left({s}\right)=\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}s- 2 \hspace{2}}{\hspace{2} { $ s- 5 $ }^{2} \hspace{2}}}$ 　　　　　……(1)

ここで，部分分数分解をする．

$3$\displaystyle{Y\left({s}\right)=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{k}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} s- 5 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{k}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ s- 5 $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{Y\left({s}\right)=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{k}_{1} $ s- 5 $ +\hspace{1}{k}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ s- 5 $ }^{2} \hspace{2}}}$ 　　……(2)

(1)と(2)の分子を係数比較すると

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array}{lll} \hspace{1}{k}_{1}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ - 5\hspace{1}{k}_{1}+\hspace{1}{k}_{2}=- 2 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{k}_{1}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\hspace{1}{k}_{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{Y\left({s}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s- 5 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { $ s- 5 $ }^{2} \hspace{2}}}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 5t } $ t+1 $ }$

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く．

特性方程式

$3$\displaystyle{ {{\lambda}}^{2}- 10{\lambda}+25=0 }$

より

$3$\displaystyle{ { $ {\lambda}- 5 $ }^{2}=0 }$

$3$\displaystyle{{\lambda}=5}$

よって一般解は

$3$\displaystyle{y={e}^{ 5t } $ \hspace{1}{C}_{1}t+\hspace{1}{C}_{2} $ }$ 　　(ただし $3$\displaystyle{ \hspace{1}{C}_{1} }$ , $3$\displaystyle{ \hspace{1}{C}_{2} }$ は任意定数)

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=5{e}^{ 5t } $ \hspace{1}{C}_{1}t+\hspace{1}{C}_{2} $ +\hspace{1}{C}_{1}{e}^{ 5t }}$

初期条件より

$3$\displaystyle{y\left({0}\right)=\hspace{1}{C}_{2}}$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }\left({0}\right)=5\hspace{1}{C}_{2}+\hspace{1}{C}_{1}}$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{1}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\hspace{1}{C}_{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 5t } $ t+1 $ }$

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最終更新日： 2023年6月6日