ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime\prime }- 5{y}^{\prime }+6y=0 }$ 　　　(初期条件： $3$\displaystyle{ y\left({0}\right)=1 }$ ， $3$\displaystyle{ {y}^{\prime }\left({0}\right)=0 }$ )

■答

$3$\displaystyle{y=3{e}^{ 2t }- 2{e}^{ 3t }}$

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く

■解き方

ラプラス変換すると

$3$\displaystyle{y{\rightarrow }\limits^{L}Y\left({s}\right)}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }{\rightarrow }\limits^{L}sY\left({s}\right)- y\left({0}\right)}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }{\rightarrow }\limits^{L}{s}^{2}Y\left({s}\right)- s\cdot y\left({0}\right)- {y}^{\prime }\left({0}\right)}$

となり，これらを式に代入

$3$\displaystyle{ {s}^{2}Y\left({s}\right)- sy\left({0}\right)- {y}^{\prime }\left({0}\right)- 5 $ sY\left({s}\right)- y\left({0}\right) $ }$ $3$\displaystyle{ +6Y\left({s}\right) }$ $3$\displaystyle{ =0 }$

初期条件より

$3$\displaystyle{{s}^{2}Y\left({s}\right)- s- 5 $ sY\left({s}\right)- 1 $ +6Y\left({s}\right)=0}$

$3$\displaystyle{ $ {s}^{2}- 5s+6 $ Y\left({s}\right)=s- 5}$

$3$\displaystyle{Y\left({s}\right)=\frac{\hspace{2} s- 5 \hspace{2}}{\hspace{2} $ s- 2 $ $ s- 3 $ \hspace{2}}}$

ここで，部分分数分解をする．

$3$\displaystyle{Y\left({s}\right)=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{k}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} s- 2 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{k}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} s- 3 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{k}_{1}={ \lim }\limits_{ s\rightarrow 2 } $ s- 2 $ \frac{\hspace{2} s- 5 \hspace{2}}{\hspace{2} $ s- 2 $ $ s- 3 $ \hspace{2}}=3}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{k}_{2}={ \lim }\limits_{ s\rightarrow 3 } $ s- 3 $ \frac{\hspace{2} s- 5 \hspace{2}}{\hspace{2} $ s- 2 $ $ s- 3 $ \hspace{2}}=- 2}$

よって

$3$\displaystyle{Y\left({s}\right)=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} s- 2 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} s- 3 \hspace{2}}}$