三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< {\pi} }$ とする．

$3$\displaystyle{\tan {\theta}=- \sqrt{3}}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$

■解説

$3$\displaystyle{ \tan {\theta} }$ の値は，単位円上の点の座標を用いると

$3$\displaystyle{\tan {\theta}=}$	$3$\displaystyle{y}$ 座標
	$3$\displaystyle{x}$ 座標

になる(ここを参照)．

しかし， $3$\displaystyle{\text{\tan }{\theta}}$ を求める場合，底辺の長さが1である直角三角形を描くと高さが $3$\displaystyle{\text{\tan }{\theta}}$ になるので都合がよい．よって，以下のような作図をする．

まず，単位円を描く

$3$\displaystyle{x=1}$ ， $3$\displaystyle{x=- 1}$ の直線を引く．

$3$\displaystyle{\tan {\theta}=- \sqrt{3}}$ より， $3$\displaystyle{x=1}$ 上の $3$\displaystyle{y}$ の値が $3$\displaystyle{- \sqrt{3}}$ となるところを点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ とする（ $3$\text{\tan }{\theta}$ と直線 $3$x=1$ の関係を参照）．

点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ と原点 $3$\displaystyle{\text{O}}$ を通る直線を描き， $3$\displaystyle{x=- 1}$ との交点を点 $3$\displaystyle{\text{Q}}$ とする．

点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ ，点 $3$\displaystyle{\text{Q}}$ から $3$\displaystyle{x}$ 軸に垂線を下ろし，それぞれの足を $3$\displaystyle{\text{R}}$ ， $3$\displaystyle{\text{S}}$ とする．

直角三角形 $3$\displaystyle{\text{OPR}}$ と直角三角形 $3$\displaystyle{\text{OQS}}$ を描く．

この作図により

$3$\displaystyle{\text{\tan }\left({ {\pi}- \left({ \angle \text{QOS} }\right) }\right)=\tan \hspace{1}{{\theta}}_{1}=- \sqrt{3}}$

$3$\displaystyle{\text{\tan }\hspace{1}{{\theta}}_{2}=\tan \left({ \hspace{1}{{\theta}}_{1}+{\pi} }\right)=\tan \hspace{1}{{\theta}}_{1}=- \sqrt{3}}$ (ここを参照)

となる．

$3$\displaystyle{ \text{OS}=1 }$ ， $3$\displaystyle{\text{QS}=\sqrt{3}}$ より，基本的な三角形と照らし合わせると

$3$\displaystyle{\angle \text{QOS}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\theta}}_{1}={\pi}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$

となる．

$3$\displaystyle{\angle \text{QOS}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$ より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\theta}}_{2}={\pi}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}=\frac{\hspace{2} 5 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$

となる．

$3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< {\pi} }$ であるから(円周上の赤線に対応)， $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\theta}}_{2}}$ は範囲外となる．

よって，求める角は

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$

となる．

■グラフ

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最終更新日： 2025年10月8日