三角関数の最大値・最小値に関する問題

■問題

次の関数の最大値と最小値を求めよ．ただし， $3$\displaystyle{0\leq {\theta}\leq 2{\pi}}$ とする．

$3$\displaystyle{ y={ \sin }^{2}{\theta}- 2\cos {\theta}+1 }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{\theta}={\pi}}$ のとき，最大値 $3$\displaystyle{3}$

$3${\theta}=0,2{\pi}$ のとき，最小値 $3$\displaystyle{- 1}$

■ヒント

公式 $3$\displaystyle{{\sin }^{2}{\theta}+{\cos }^{2}{\theta}=1}$ を利用して， $3$\displaystyle{\cos {\theta}}$ に統一する．

$3$\displaystyle{\cos {\theta}}$ を $3$\displaystyle{t}$ と置き換えて計算を行う．

2次関数の最大と最小(範囲指定あり）を参照する．

増減表を用いて解くこともできる．

■解説

$3$\displaystyle{{\sin }^{2}{\theta}+{\cos }^{2}{\theta}=1}$ より

$3$\displaystyle{{\sin }^{2}{\theta}=1- {\cos }^{2}{\theta}}$ ･･････(1)

与式に(1)を代入すると

$3$\displaystyle{y= $ 1- { \cos }^{2}{\theta} $ - 2\cos {\theta}+1}$

$3$\displaystyle{y=- {\cos }^{2}{\theta}- 2\cos {\theta}+2}$ ･･････(2)

となる． $3$\displaystyle{\cos {\theta}=t}$ とおいて，(2)に代入する．

$3$\displaystyle{y=- {t}^{2}- 2t+2}$ ･･････(3)

(3)の2次関数を平方完成する．

$3$\displaystyle{y=- ${t}^{2}+2t$+2}$

$3$\displaystyle{y=- { $ t+1 $ }^{2}+3}$

$3$\displaystyle{t}$ の範囲を求める．

$3$\displaystyle{0\leq {\theta}\leq 2{\pi}}$

$3$\displaystyle{- 1\leq \cos {\theta}\leq 1}$

$3$\displaystyle{ - 1\leq t\leq 1 }$ ･･････(4)

図より， $3$\displaystyle{ y=- { $ t+1 $\hspace{5} }^{2}+3 }$ は

$3$\displaystyle{t=- 1}$ のとき最大値 $3$\displaystyle{3}$

$3$\displaystyle{t=1}$ のとき最小値 $3$\displaystyle{- 1}$

をとる．

$3$t$ に対応する $3$\displaystyle{{\theta}}$ を求める．

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=- 1}$ ⇒ $3$\displaystyle{{\theta}={\pi}}$

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=1}$ ⇒ $3${\theta}=0,2{\pi}$

以上より， $3$\displaystyle{y={\sin }^{2}{\theta}- 2\cos {\theta}+1}$ は

$3$\displaystyle{{\theta}={\pi}}$ のとき，最大値 $3$\displaystyle{3}$

$3${\theta}=0,2{\pi}$ のとき，最小値 $3$\displaystyle{- 1}$

となる．

●増減表を用いる方法

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=2\sin {\theta}\cos {\theta}+2\sin {\theta}}$ $3$\displaystyle{=2\sin {\theta}\left({ \cos {\theta}+1 }\right)}$

$3${y}^{\prime }=0$ となるのは

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=0}$ ，あるいは， $3$\cos {\theta}+1=0$ ⇒ $3$\cos {\theta}=- 1$

よって

$3${\theta}=0,{\pi},2{\pi}$

$3$0< {\theta}< {\pi}$ のとき　

$3$\sin {\theta}> 0$ ， $3$\cos {\theta}+1> 0$

$3${\pi}< {\theta}< 2{\pi}$ のとき

$3$\sin {\theta}< 0$ ， $3$\cos {\theta}+1> 0$

となる．したがって，増減表は　

$3$x$	$3$0$	$3$\cdots$	$3${\pi}$	$3$\cdots$	$3$2{\pi}$
$3${y}^{\prime }$	$3$0$	$3$+$	$3$0$	$3$-$	$3$0$
$3$y$	$3$- 1$	$3$↗$ TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。	$3$3$	$3$↘$ TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。	$3$- 1$