不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

$3$\displaystyle{ \int $ {x}^{3}+2{x}^{2}- \sqrt{x} $ dx }$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x\sqrt{x}+C}$ 　　( $3$C$ は積分定数)

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int {x}^{{\alpha}}dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha}+1 \hspace{2}}{x}^{ {\alpha}+1 }+C }$ 　　( $3$C$ は積分定数)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \int $ {x}^{3}+ 2{x}^{2}- \sqrt{x} $ dx }$

計算しやすくするために， $3$\displaystyle{ \sqrt{x} }$ 　を累乗の形に変換する．

$3$\displaystyle{ =\int $ {x}^{3}+ 2{x}^{2}- {x}^{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}} $ dx }$

（ $3$\displaystyle{ \sqrt{x}={x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }$ 　は指数が有理数の場合を参照）

$3$\displaystyle{=\int {x}^{3}dx +\int 2{x}^{2}dx - \int {x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dx }$

（不定積分の基本式の2つ目の式を参照）

$3$\displaystyle{=\int {x}^{3}dx +2\int {x}^{2}dx - \int {x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dx }$

（ $3$\displaystyle{2}$ を積分記号 $3$\displaystyle{ \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式の1つ目の式を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3+1 \hspace{2}}{x}^{ 3+1 }+2\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2+1 \hspace{2}}{x}^{ 2+1 }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+1 \hspace{2}}{x}^{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}+C }$

（公式にあてはめる）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4}+ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}+ C }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x\sqrt{x}+C}$

（ $3$\displaystyle{ {x}^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }$ を $3$\displaystyle{x\sqrt{x}}$ の形にする．指数が有理数の場合を参照）

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x\sqrt{x}+C}$ 　を微分し，積分前の式　 $3$\displaystyle{{x}^{3}+2{x}^{2}- \sqrt{x}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年3月6日