不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \int \sin 3x\cos 5xdx }$ 　　

■答

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}\cos 8x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C}$ 　　（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

■ヒント

三角関数の積和の公式より

$3$\displaystyle{ \sin a\cos b }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \sin $ a+b $ +\sin $ a- b $ \} }$ 　･･････ $3$\displaystyle{ $1$ }$

の公式を用いる．

■解説

この問題では，方針の公式 $3$\displaystyle{ $1$ }$ の $3$\displaystyle{a}$ に $3$\displaystyle{ 3x }$ ， $3$\displaystyle{b}$ に $3$\displaystyle{ 5x }$ をあてはめる．

与式 $3$\displaystyle{=\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \sin $ 3x+5x $ +\sin $ 3x- 5x $ \} dx }$ 　　

$3$\displaystyle{ =\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \sin 8x+\sin $ - 2x $ \} dx }$ 　　

（ $3$\displaystyle{ \sin $ - 2x $ =- \sin 2x }$ になるのは，三角関数の関係式を参照）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\int $ \sin 8x- \sin 2x $ dx }$ 　　

（ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ を積分記号 $3$\displaystyle{ \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} $ - \cos 8x $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ - \cos 2x $ \} +C}$ 　　

（ $3$\displaystyle{\sin x}$ の積分とこの式を参照， $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}\cos 8x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C}$ 　　

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}\cos 8x +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C }$ 　を微分し，積分前の式　 $3$\displaystyle{ \sin 3x\cos 5x }$ に戻ることを確認しなさい．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年9月30日