不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \int \tan 2xdx }$ 　　

■答

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \| \cos 2x \| +C}$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

三角関数の相互関係より

$3$\displaystyle{ \tan x=\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}} }$ 　･･････(1)

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx }=\log \|x\| +C }$ 　　（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{\cos 2x=t}$ 　･･････(3)

とおく．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- 2\sin 2x }$

より

$3$\displaystyle{\sin 2xdx=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt}$ 　･･････(4)

となる．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

与式 $3$\displaystyle{=\int \frac{\hspace{2} \sin 2x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos 2x \hspace{2}}dx }$ 　

（方針の公式 $3$\displaystyle{ $1$ }$ より）

$3$\displaystyle{ =\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos 2x \hspace{2}}\cdot \sin 2x dx }$ 　　

$3$\displaystyle{=\int - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}dt }$ 　　

（(3)，(4)を代入する）

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}dt }$ 　　

（ $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ を積分記号 $3$\displaystyle{\int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \|t\| +C}$ 　　

（方針の公式 $3$\displaystyle{ $2$ }$ にあてはめる）

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \| \cos 2x \| +C}$ 　　

（最初に　 $3$\displaystyle{\cos 2x=t}$ 　と置換したので，元に戻す）

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \| \cos 2x \| +C }$ 　を微分し，積分前の式　 $3$\displaystyle{ \tan 2x }$ 　に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月24日