不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \int x\sin xdx }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{- x\cos x+\sin x+C}$ （ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

■ヒント

部分積分法

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ }dx}$ $3$\displaystyle{}$ $3$\displaystyle{=f $x$ g $x$ - \displaystyle{ \int {f}^{\prime } $x$ }g $x$ dx}$

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{\int x\sin xdx=\int x{ $ - \cos x $ }^{\prime }dx }$ とおいて考える．

（ $3$\displaystyle{ \sin x={ $ - \cos x $ }^{\prime } }$ となるのは， $3$\displaystyle{ \cos x }$ の微分を参照）

与式 $3$\displaystyle{=\int x{ $ - \cos x $ }^{\prime }dx}$

（方針の公式にあてはめる）

$3$\displaystyle{ =x\cdot $ - \cos x $ - \int {x}^{\prime }\cdot $ - \cos x $ dx }$

（ $3$\displaystyle{ {x}^{\prime }=1 }$ となるのは，微分 $3$\displaystyle{ {x}^{{\alpha}} }$ を参照）

$3$\displaystyle{ =x\cdot $ - \cos x $ - \int $ - \cos x $ dx }$

（三角関数の積分を参照）

$3$\displaystyle{=- x\cos x+\sin x+C}$ （ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）　　

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{- x\cos x+\sin x+C}$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ x\sin x }$ に戻ることを確認しなさい．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年8月18日