不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x+1 }- \sqrt{x} \hspace{2}}dx }$ 　　

■答

$3$\displaystyle{2 $ x+1 $ \sqrt{ x+1 }+2x\sqrt{x}+C}$ 　　 $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

■ヒント

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{a}\pm \sqrt{b} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 1\times $ \sqrt{a}\mp \sqrt{b} $ \hspace{2}}{\hspace{2} $ \sqrt{a}\pm \sqrt{b} $ $ \sqrt{a}\mp \sqrt{b} $ \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \sqrt{a}\mp \sqrt{b} \hspace{2}}{\hspace{2} a- b \hspace{2}} }$ 　　

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int {x}^{{\alpha}} dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha}+1 \hspace{2}}{x}^{ {\alpha}+1 }+C }$ 　　（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

方針より， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x+1 }- \sqrt{x} \hspace{2}} }$ の分母・分子に　 $3$\displaystyle{ \sqrt{ x+1 }+\sqrt{x} }$ をかけ，有理化すると

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x+1 }- \sqrt{x} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 3 $ \sqrt{ x+1 }+\sqrt{x} $ \hspace{2}}{\hspace{2} $ \sqrt{ x+1 }- \sqrt{x} $ $ \sqrt{ x+1 }+\sqrt{x} $\hspace{10} \hspace{2}} }$ 　　

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 3 $ \sqrt{ x+1 }+\sqrt{x} $ \hspace{2}}{\hspace{2} x+1- x \hspace{2}} }$ 　　

$3$\displaystyle{ =3 $ \sqrt{ x+1 }+\sqrt{x} $ }$ ･･････ $3$\displaystyle{ $\alpha $ }$

となる．よって， $3$\displaystyle{ $\alpha $ }$ を与式に代入して積分すると

与式 $3$\displaystyle{=\int 3 $ \sqrt{ x+1 }+\sqrt{x} $ dx}$ 　

$3$\displaystyle{=3 $ \int \sqrt{ x+1 } dx+\int \sqrt{x} dx $ }$ 　　

（ $3$\displaystyle{3}$ を積分記号 $3$\displaystyle{ \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

$3$\displaystyle{=3 $ \int { \( x+1 $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } dx+\int {x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } dx \) }$ 　　

（指数に関する定義を参照）

$3$\displaystyle{=3 $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \( x+1 $ }^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \) +C}$ 　　　　　　

（ヒントの公式にあてはめる）

$3$\displaystyle{=2\sqrt{ { $ x+1 $ }^{3} }+2\sqrt{ {x}^{3} }+C}$ 　　

$3$\displaystyle{=2 $ x+1 $ \sqrt{ x+1 }+2x\sqrt{x}+C}$ 　　　

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{ 2 $ x+1 $ \sqrt{ x+1 }+2x\sqrt{x}+C }$ 　を微分し，積分前の式　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x+1 }- \sqrt{x} \hspace{2}} }$ 　に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月24日