$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int { $ - \cos x $ }^{\prime }\cos }xdx }$ と部分積分する方法

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \int \sin x\cos xdx }$

■答

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C }$ （ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

あるいは

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \cos }^{2}x+C }$

でもよい．

■ヒント

部分積分法より

$3$\displaystyle{ \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx }$ $3$\displaystyle{ =f $x$ g $x$ - \int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx }$

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \int \sin x\cos xdx =\int { $ - \cos x $ }^{\prime } \cos xdx }$

と考えて部分積分法を使う． $3$\displaystyle{ \sin x }$ が $3$\displaystyle{ { $ - \cos x $ }^{\prime } }$ に変換できるのは，ここを参照

与式 $3$\displaystyle{ =\int { $ - \cos x $ }^{\prime }\cos xdx }$

方針の部分積分の公式を利用する

$3$\displaystyle{ =- \cos x\cdot \cos x- \int $ - \cos x $ \cdot { $ \cos x $ }^{\prime }dx }$

$3$\displaystyle{ =- { \cos }^{2}x- \int $ - \cos x $ \cdot $ - \sin x $ dx }$

（ $3$\displaystyle{ \cos x }$ を微分すると $3$\displaystyle{ - \sin x }$ になるのは，ここを参照）

$3$\displaystyle{ =- { \cos }^{2}x- \int \sin x\cos xdx }$

ここで， $3$\displaystyle{ \int \sin x\cos xdx=I }$ とおくと

$3$\displaystyle{I}$ $3$\displaystyle{ =- { \cos }^{2}x- I }$

$3$\displaystyle{ 2I }$ $3$\displaystyle{ =- { \cos }^{2}x }$

$3$\displaystyle{I}$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \cos }^{2}x }$

最後に，積分定数 $3$\displaystyle{C}$ を加える．

$3$\displaystyle{ I=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \cos }^{2}x+C }$

これは，2倍角の公式によって求まった答 $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C }$ と異なっているが， $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \cos }^{2}x+C }$ を変形すると $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C }$ になる．

半角の公式の 2番目の式より

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \cos }^{2}x+C }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2} 1+\cos 2x \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ +C }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+C }$

ここで， $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+C }$ も任意の定数となるので， $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+C }$ を改めて $3$\displaystyle{C}$ とかき直す．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C }$

よって，このことから， $3$\displaystyle{ \cos x=t }$ とおいて置換積分する方法でも解くことができる．

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \cos }^{2}x+C }$ ， $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C }$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ \sin x\cos x }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年3月7日