$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \sin x{ $ \sin x $ }^{\prime }dx } }$ と部分積分する方法

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \int \sin x\cos x dx }$

■答

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C }$ 　（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

あるいは

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \sin }^{2}x+C }$

でもよい．

■ヒント

部分積分法より

$3$\displaystyle{\int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx }$ $3$\displaystyle{ =f $x$ g $x$ - \int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx }$

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \int \sin x\cos x dx=\int \sin x{ $ \sin x $ }^{\prime } dx }$

と考えて部分積分法を使う． $3$\displaystyle{ \cos x }$ が $3$\displaystyle{ { $ \sin x $ }^{\prime } }$ に変換できるのは，ここを参照

与式 $3$\displaystyle{ =\int \sin x{ $ \sin x $ }^{\prime } dx }$

$3$\displaystyle{ =\sin x\cdot \sin x- \int { $ \sin x $ }^{\prime }\cdot \sin x dx }$

方針の部分積分の公式を使う.

$3$\displaystyle{ ={ \sin }^{2}x- \int \cos x\cdot \sin x dx }$

（ $3$\displaystyle{ { $ \sin x $ }^{\prime } }$ を微分すると $3$\displaystyle{ \cos x }$ になるのは，ここを参照）

$3$\displaystyle{ ={ \sin }^{2}x- \int \sin x\cos x dx }$

ここで， $3$\displaystyle{ \int \sin x\cos x dx=I }$ とおくと

$3$\displaystyle{I}$ $3$\displaystyle{ ={ \sin }^{2}x- I }$

$3$\displaystyle{ 2I }$ $3$\displaystyle{ ={ \sin }^{2}x }$

$3$\displaystyle{I}$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \sin }^{2}x }$

最後に，積分定数 $3$\displaystyle{C}$ を加える．

$3$\displaystyle{ I=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \sin }^{2}x+C }$

これは，2倍角の公式によって求まった答 $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C }$ と異なっているが， $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C }$ を変形すると $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \sin }^{2}x+C }$ になる．

半角の公式の 1番目の式より

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \sin }^{2}x+C=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2} 1- \cos 2x \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ +C }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+C }$

ここで， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+C }$ も任意の定数となるので， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+C }$ を改めてとかき直す．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+C }$

よって，このことから， $3$\displaystyle{\sin =t}$ とおいて置換積分する方法でも解くことができる．

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \sin }^{2}x+C }$ ， $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+C }$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ \sin x\cos x }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年3月7日