不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{\int {5}^{x}dx }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {5}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \log 5 \hspace{2}}dx+C}$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分の指数／対数の積分よりこの

$3$\displaystyle{ \int {a}^{x}dx=\frac{\hspace{2} {a}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}}+C }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{\int {5}^{x}dx }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {5}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \log 5 \hspace{2}}dx+C}$

（この問題では(1)において $3$\displaystyle{a=5}$ である．

●別計算

被積分関数の指数関数の底を $3$5$ から $3$e$ に変換してから積分する．変換方法かここを参照．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int {5}^{x}dx }=\displaystyle{ \int {e}^{ \log {5}^{x} }dx }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int {e}^{ x\log 5 }dx }}$

$3$\displaystyle{x\log 5=t}$ とおいて置換積分をする．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\log 5}$ より $3$\displaystyle{dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log 5 \hspace{2}}dt}$ ．よって

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int {e}^{t}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log 5 \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log 5 \hspace{2}}\displaystyle{ \int {e}^{t}dt }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log 5 \hspace{2}}{e}^{t}+C}$

変数を $3$x$ から $3$t$ に戻す．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log 5 \hspace{2}}{e}^{ x\log 5 }+C}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {5}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \log 5 \hspace{2}}+C}$

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {5}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \log 5 \hspace{2}}dx+C}$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ {5}^{x} }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年6月9日