不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int $ 2\sin x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cos x $ dx } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{=- 2\cos x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\sin x+C}$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(２)より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \{ f $x$ \pm g $x$ \} }dx }$ $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int f $x$ }dx\pm \displaystyle{ \int g $x$ }dx }$ ･･････(1)

不定積分の基本式(１)より

$3$\displaystyle{ \int cf $x$ dx =c\int f $x$ dx }$ ･･････(2)

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \sin xdx=- \cos x+C } }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(3)

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \cos xdx=\sin x+C } }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(4)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int $ 2\sin x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cos x $ dx } }$

(1)を用いると

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int 2\sin xdx+\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cos xdx } } }$

(2)を用いると

$3$\displaystyle{ =2\displaystyle{ \int \sin xdx+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\displaystyle{ \int \cos xdx } } }$

(3)，(4)を用いるて, $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \sin xdx } }$ ， $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \cos xdx } }$ をそれぞれ積分すと

$3$\displaystyle{ =2\left({ - \cos x }\right)+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\sin x+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

$3$\displaystyle{=- 2\cos x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\sin x+C}$

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最終更新日： 2025年6月10日