不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x- 6 } \hspace{2}}dx } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ 2\sqrt{ x- 6 }+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int {x}^{{\alpha}}dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha}+1 \hspace{2}}{x}^{ {\alpha}+1 }+C }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x- 6 } \hspace{2}}dx } }$

計算しやすいように， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}\text{1}\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x- 6 } \hspace{2}} }$ を累乗の形に変換すると

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}\text{1}\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x- 6 } \hspace{2}}={ \sqrt{ x- 6 } }^{ - 1 }={ $ x- 6 $ }^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }$

となる．よって

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int { $ x- 6 $ }^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dx } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+1 \hspace{2}}{ $ x- 6 $ }^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+1 }+C }$

(この公式：） $3$\displaystyle{\int f $ ax+b $ dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} F $ ax+b $ +C }$ と(1)を用いた)

$3$ =2{ $ x- 6 $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }+C$

$3$\displaystyle{ =2\sqrt{ x- 6 }+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

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最終更新日： 2025年7月25日