不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int $ 2x+1 $ $ x- 3 $ dx } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}- 3x+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(2)より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \{ f $x$ \pm g $x$ \} }dx }$ $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int f $x$ }dx\pm \displaystyle{ \int g $x$ }dx }$ ･･････(1)

不定積分の基本式(1)より

$3$\displaystyle{ \int cf $x$ dx =c\int f $x$ dx }$ ･･････(2)

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{\alpha } }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha +1 }+C }$ ( $3$\displaystyle{\alpha }$ は $3$\displaystyle{ - 1 }$ 以外の実数)　･･････(3)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int $ 2x+1 $ $ x- 3 $ dx } }$

$3$\displaystyle{ $ 2x+1 $ $ x- 3 $ }$ を展開する

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int $ 2{x}^{2}- 5x- 3 $ dx } }$

$3$\displaystyle{=\int 2{x}^{2}dx- \int 5xdx- \int 3dx}$

(項ごとに分けることが可能となるのは(1)を参照）

$3$\displaystyle{ =2\displaystyle{ \int {x}^{2}dx- 5\displaystyle{ \int xdx- 3\displaystyle{ \int dx } } } }$

（ $3$\displaystyle{ 2,5,3 }$ が $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int } }$ の前にくるのは(2)を参照)

$3$\displaystyle{ =2\times \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}- 5\times \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}- 3\times x+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

((3)を参照)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}- 3x+C }$

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最終更新日： 2025年7月1日