不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} 2x+2 \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+2x- 4 \hspace{2}}dx } }$

$3$\displaystyle{ \log \| {x}^{2}+2x- 4 \| +C }$ （ $3$C$ は積分定数）

分母を微分すると分子になる→置換積分法を考える

$3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} dx=\log \|x\| +C }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

$3$\displaystyle{ {x}^{2}+2x- 4=t }$ とおくと（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=2x+2}$ →　 $3$\displaystyle{\left({ 2x+2 }\right)dx=dt}$

となる．よって

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}dt } }$ $3$\displaystyle{ =\log \|t\| +C }$

（(1)の公式を用いた）

$3$\displaystyle{ =\log \| {x}^{2}+2x- 4 \| +C }$ （ $3$C$ は積分定数）

（ $3$\displaystyle{ {x}^{2}+2x- 4=t }$ をもとに戻した）

以下の公式を用いてもよい

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} {f}^{\prime } $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} f $x$ \hspace{2}}dx }=\log \| f $x$ \| +C }$

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年7月24日