不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} { \cos }^{ - 1 }x \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}}dx } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ $ { \cos }^{ - 1 }x $ }^{2}+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

$3$\displaystyle{ { \cos }^{ - 1 }x }$ の微分の公式

$3$\displaystyle{ { \left({ { \cos }^{ - 1 }x }\right) }^{\prime }=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}} }$ ･･････(1)

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{\alpha }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha - 1 }+C } }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ { \cos }^{ - 1 }x=t }$ と置く（置換積分の詳細は置換積分法を参照）．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}}}$ →　 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}}dx=- dt}$ ･･････(3)

よって

与式 $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int t\cdot \left({ - 1 }\right) }dt}$

（与式に $3$\displaystyle{ { \cos }^{ - 1 }x=t }$ ，(3)を代入した）

$3$\displaystyle{ =- \displaystyle{ \int tdt } }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{t}^{2}+C }$

（(2)の公式を用いた）

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ $ { \cos }^{ - 1 }x $ }^{2}+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

（ $3$\displaystyle{ t={ \cos }^{ - 1 }x }$ を代入した）

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年6月9日