不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int $ 3x- 5 $ dx } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}- 5x+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(1)より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int cf $x$ dx=c\displaystyle{ \int f $x$ dx } } }$ （ただし， $3$c$ は積分定数）　･･････(1)

不定積分の基本式（2）より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \{ f $x$ \pm g $x$ \} dx=\displaystyle{ \int f $x$ dx }\pm \displaystyle{ \int g $x$ dx } } }$ ･･････(2)

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int {x}^{{\alpha}}dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha}+1 \hspace{2}}{x}^{ {\alpha}+1 }+C }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(3)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int $ 3x- 5 $ dx } }$ $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int 3xdx- \displaystyle{ \int 5dx } } }$

（(2)を適用して式を2つに分ける）

$3$\displaystyle{ =3\displaystyle{ \int xdx- 5\displaystyle{ \int dx } } }$

（ $3$3$ ， $3$5$ が $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int } }$ の前にくる理由は(1)を参照）

$3$\displaystyle{ =3\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+1 \hspace{2}}{x}^{2}- 5\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 0+1 \hspace{2}}x+C }$

（(3)を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}- 5x+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

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最終更新日： 2025年7月25日