不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \sin 2xdx } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cos 2x+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(1)より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int cf $x$ dx=c\displaystyle{ \int f $x$ dx } } }$ (ただし， $3$\displaystyle{c}$ は定数)　･･････(1)

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \sin xdx=- \cos x+C } }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \sin 2xdx } }$

$3$\displaystyle{ 2x=t }$ と置くと（置換積分の詳細は置換積分法を参照）．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=2}$ →　 $3$\displaystyle{ dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt }$

よって

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int \sin t\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt } }$

（ $3$\displaystyle{ 2x=t }$ , $3$\displaystyle{ dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt }$ を与式に代入）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int \sin tdt } }$

（ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ が $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int } }$ の前にくる理由は(1)を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot $ - \cos t $ +C }$ （ $3$C$ は積分定数）

（(2)を参照）

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cos 2x+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

( $3$\displaystyle{ t=2x }$ より変数を $3$t$ から $3$x$ 元に戻した)

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最終更新日： 2025年7月25日