不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int { \cos }^{2}xdx } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin 2x+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

2倍角の公式より

$3$\displaystyle{ \cos 2\alpha =2{ \cos }^{2}\alpha - 1 }$ ･･････(1)

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{\alpha } }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha +1 }+C }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(2)

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \cos xdx=\sin x+C } }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(3)

の公式を用いる．

■解説

(1)より

$3$\displaystyle{ { \cos }^{2}x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ 1+\cos 2x $ }$ ･･････(4)

式変形でき，（4）を与式に代入する

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ 1+\cos 2x $ dx } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \displaystyle{ \int dx+\displaystyle{ \int \cos 2xdx } } $ }$ ･･････(5)

●各積分の計算

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int dx=x+C } }$ （基本となる関数の積分参照）　･･････(6)
$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \cos 2xdx } }$ は以下のように置換積分法を用いて計算する．

$3$\displaystyle{ 2x=t }$ とおく

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=2}$ →　 $3$\displaystyle{ dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt }$

よって

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \cos 2x=\displaystyle{ \int \cos t\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt } } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int \cos tdt } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin t+C }$

（ヒントの(3)を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2x+C }$ ･･････(7)

( $3$\displaystyle{ t=2x }$ より変数を $3$t$ から $3$x$ 元に戻した）

積分の結果(6)，(7)を(5)に代入する．

$3$\displaystyle{= \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \displaystyle{ \int dx+\displaystyle{ \int \cos 2xdx } } $ }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2x $ +C }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin 2x+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

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最終更新日： 2025年6月9日