不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \sin $ x- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ dx } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ - \cos $ x- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ +C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \sin xdx=- \cos x+C } }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \sin $ x- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ dx } }$

$3$\displaystyle{ x- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}=t }$ とおき，置換積分を用いて計算する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=1}$ 　→　 $3$\displaystyle{ dx=dt }$

よって

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int \sin tdt } }$

(与式に $3$\displaystyle{ x- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}=t }$ ， $3$\displaystyle{ dx=dt }$ を代入した)

$3$\displaystyle{ =- \cos t+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

(ヒントの式(1)を参照)

$3$\displaystyle{ =- \cos $ x- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ +C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

●別解

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \sin \left({ x- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right)dx }}$

被積分関数を加法定理で書き換える

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \left({ \sin x\cos \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- \cos x\sin \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right)dx }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \left({ \frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin x- \frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cos x }\right)dx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int \left({ \sin x- \cos x }\right)dx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ - \cos x- \sin x }\right)+C}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ \cos x+\sin x }\right)+C}$

これも答になる．上記答と一致するようかを式変形をして確認する．

$3$\displaystyle{=- \left{{ \left({ \cos x }\right)\frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\left({ \sin x }\right)\frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right}+C}$

$3$\displaystyle{=- \left({ \cos x\cos \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+\sin x\sin \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right)+C}$

$3$\displaystyle{=- \cos \left({ x- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right)+C}$

上記答と一致した．

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{ - \cos $ x- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ +C }$ 　を微分し，積分前の式　 $3$\displaystyle{ \sin $ x- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ }$ 　に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2026年2月9日