不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int 2x\log xdx } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ {x}^{2}\log x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

部分積分法より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx } }$ $3$\displaystyle{ =f $x$ g $x$ - \displaystyle{ \int f $x$ {g}^{\prime } } $x$ }$ ･･････(1)

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{\alpha }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha +1 }+C } }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int 2x\log xdx } }$

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({x}\right)=2x }$ , $3$\displaystyle{ g $x$ =\log x }$ とする部分積分をする．

$3$\displaystyle{f\left({x}\right)={x}^{2}}$ , $3$\displaystyle{ {g}^{\prime } $x$ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$ (ここを参照)

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx } }$

$3$\displaystyle{=\int 2x\log xdx}$

ヒントの公式(1)を適用する

$3$\displaystyle{ ={x}^{2}\log x- \displaystyle{ \int $ {x}^{2}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ dx } }$

$3$\displaystyle{ ={x}^{2}\log x- \displaystyle{ \int xdx } }$

（ヒントの公式(2)を適用する

$3$\displaystyle{ ={x}^{2}\log x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{ {x}^{2}\log x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+C }$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ 2x\log x }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年6月9日