不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int $ 5{x}^{4}- 3{x}^{2}+\frac{\hspace{2} 3\sqrt{x} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }dx}$

■答

$3$\displaystyle{ {x}^{5}- {x}^{3}+x\sqrt{x}+C }$ ( $3$C$ は積分定数)

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int {x}^{{\alpha}}dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha}+1 \hspace{2}}{x}^{ {\alpha}+1 }+C }$ ( $3$C$ は積分定数)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int $ 5{x}^{4}- 3{x}^{2}+\frac{\hspace{2} 3\sqrt{x} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }dx}$

計算しやすいよう， $3$\displaystyle{ \sqrt{x} }$ を累乗の形に変換すると，

与式 $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int $ 5{x}^{4}- 3{x}^{2}+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } $ }dx}$

（ $3$\displaystyle{ \sqrt{x}={x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }$ は指数が有理数の場合を参照）

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int 5{x}^{4}dx }- \displaystyle{ \int 3{x}^{2}dx+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int {x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dx } }}$

（不定積分の基本式の2つ目の式を参照）

$3$\displaystyle{=5\displaystyle{ \int {x}^{4}dx }- 3\displaystyle{ \int {x}^{2}dx+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int {x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dx } }}$

$3$\displaystyle{=5\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4+1 \hspace{2}}{x}^{ 4+1 }- 3\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2+1 \hspace{2}}{x}^{ 2+1 }+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+1 \hspace{2}}{x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+1 }+C}$

（公式にあてはめる）

$3$\displaystyle{=5\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{x}^{5}- 3\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }+C}$

$3$\displaystyle{={x}^{5}- {x}^{3}+{x}^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }+C}$

$3$\displaystyle{{x}^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ を $3$\displaystyle{ x\sqrt{x} }$ の形に戻して，(指数が有理数の場合を参照）

$3$\displaystyle{ ={x}^{5}- {x}^{3}+x\sqrt{x}+C }$ ( $3$C$ は積分定数)

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最終更新日：2025年3月6日