基本的な対数方程式の問題

■問題

次の対数方程式を解け．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}$x+3$+\hspace{1}{\log }_{2}$x- 4$=3}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{x=5}$

■ヒント

$3$\displaystyle{3}$ を底 $3$\displaystyle{2}$ の対数にする

■計算

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}$x+3$+\hspace{1}{\log }_{2}$x- 4$=3}$ $3$$ $3$\displaystyle{=3\hspace{1}{\log }_{2}2}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{2}{2}^{3}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{2}8}$

$3$\displaystyle{$x+3$$x- 4$=8}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}- x- 12=8}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}- x- 20=0}$

$3$\displaystyle{$x+4$$x- 5$=0}$

$3$\displaystyle{x=5}$ (真数条件， $3$\displaystyle{x> 4}$ を満たしている．)

■解説

最初に真数条件を確認する．

$3$\displaystyle{x+3> 0}$ ， $3$\displaystyle{x- 4> 0}$ ⇒　 $3$\displaystyle{x> - 3}$ ， $3$\displaystyle{x> 4}$

すなわち

$3$\displaystyle{x> 4}$

となる．

与式の左辺を変形する． $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}S+\hspace{1}{\log }_{a}R=\hspace{1}{\log }_{a}SR}$ の公式より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}$x+3$+\hspace{1}{\log }_{2}$x- 4$}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{2}$x+3$$x- 4$}$

次に与式の右辺を変形する．右辺の $3$3$ を底が $3$2$ の対数に変換する．このとき $3$\displaystyle{ t\hspace{1}{ \log }_{a}R=\hspace{1}{ \log }_{a}{R}^{t} }$ の公式を適用する．

$3$\displaystyle{3}$ $3$\displaystyle{=3\hspace{1}{\log }_{2}2}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{2}{2}^{3}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{2}8}$

ゆえに，与式は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}$x+3$$x- 4$}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{2}8}$