対数不等式の問題

■問題

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{2}$x- 1$+\hspace{1}{ \log }_{4}2< 0 }$

■答

$3$\displaystyle{ 1< x< \frac{\hspace{2} \sqrt{2}+2 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

■計算

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}$x- 1$+\hspace{1}{\log }_{4}2}$ $3$\displaystyle{< 0}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}$x- 1$+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}2 \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}4 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{< 0}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}$x- 1$+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}2 \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}{2}^{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{< 0}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}$x- 1$+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}2 \hspace{2}}{\hspace{2} 2\hspace{1}{ \log }_{2}2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{< 0}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}$x- 1$+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{< 0}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}$x- 1$}$ $3$\displaystyle{< - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}$x- 1$}$ $3$\displaystyle{< - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\hspace{1}{\log }_{2}2}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}$x- 1$}$ $3$\displaystyle{< \hspace{1}{\log }_{2}{2}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

対数の底の数が $3$\displaystyle{ 2> 1 }$ より

$3$\displaystyle{$x- 1$}$ $3$\displaystyle{< {2}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{$x- 1$}$ $3$\displaystyle{< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{$x- 1$}$ $3$\displaystyle{< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}\times \frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}+1}$

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{< \frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{< \frac{\hspace{2} \sqrt{2}+2 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

真数条件が $3$\displaystyle{ x> 1 }$ より

$3$\displaystyle{ 1< x< \frac{\hspace{2} \sqrt{2}+2 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

■解説

最初に，真数条件より

$3$\displaystyle{x- 1> 0}$

すなわち

$3$\displaystyle{x> 1}$

次に与式を変形し，不等式の左辺と右辺が同じ底の対数になるようにする．

与式の対数が複数あり，底の値が同じでない．まず，対数の底を統一するために底の変換公式を用いる．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{4}2}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}2 \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}4 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}2 \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}{2}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{a}{R}^{t}=t\hspace{1}{ \log }_{a}R }$ の公式にあてはめると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{4}2=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}2 \hspace{2}}{\hspace{2} 2\hspace{1}{ \log }_{2}2 \hspace{2}}}$

次に $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}a=1}$ より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{4}2=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

即ち，与式は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}$x- 1$+\hspace{1}{\log }_{4}2}$ $3$\displaystyle{< 0}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}$x- 1$+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{< 0}$ 　(変形部部を右辺に移項すると)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}$x- 1$}$ $3$\displaystyle{< - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

再度，公式 $3$\displaystyle{1=\hspace{1}{\log }_{a}a}$ ， $3$\displaystyle{ t\hspace{1}{ \log }_{a}R=\hspace{1}{ \log }_{a}{R}^{t} }$ を用いて

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}$x- 1$< - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}$x- 1$< - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\hspace{1}{\log }_{2}2}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}$x- 1$< \hspace{1}{\log }_{2}{2}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

これで底の値を統一させることができた．

底の値２は２>１である．即ち，このグラフは単調増加であるので，対数の大小関係と，真数の大小関係は変化しない．

$3$\displaystyle{x- 1}$ $3$\displaystyle{< {2}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \hspace{2}}+1}$

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}+1}$

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}\times \frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}+1}$ 　（分母分子に $3$\displaystyle{ \sqrt{2} }$ を乗じて，有理化する．）

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{< \frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{< \frac{\hspace{2} \sqrt{2}+2 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

最初に求めた真数条件は， $3$\displaystyle{ x> 1 }$ であるので，求める $3$\displaystyle{x}$ の範囲は

$3$\displaystyle{ 1< x< \frac{\hspace{2} \sqrt{2}+2 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

となる．

■問題へ戻る

ホーム>>カテゴリー分類>>指数／対数>>対数に関する問題>>対数不等式の問題

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日