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応用分野: 円と直線の図形の特徴円と直線の関係方程式

円の方程式

  1. 中心:原点,半径:r  の円の方程式
  2. 中心:C(a,b),半径:r  の円の方程式
  3. 原点Oと点Q(a,b)を結ぶ直線OPを直径とする円の方程式
  4. 複素数を用いた円の方程式

■中心:原点,半径:r  の円の方程式

を使って円周上の点Pを表すと, 

となる.



■中心:C(a,b),半径:r  の円の方程式[topへ]

を使って円周上の点Pを表すと, 

となる.

 

■原点Oと点Q(a,b)を結ぶ直線OPを直径とする円の方程式[topへ]

●式の導出 その1

 円周角の定理より
よって, , 内積は,  となる.
この関係を,ベクトルの成分で表すと,

より

となる.上記のような円の方程式の形に変形すると,

となる.

 これが求める円の方程式である.

中心の座標は, ,半径は, となる.

 内積を用いて円の方程式を導く方法は重要である.

●式の導出 その2

 三平方の定理を用いて方程式を導くこともできます.

より

■複素数を用いた円の方程式[topへ]

 複素平面上において,原点Oを中心とする半径  の 円の方程式

 複素数を  とすると,

  (

極形式で表すと,

となる.

 

● 複素平面上において,点C(  )を中心とする半径   の 円の方程式

複素数を  とすると,

となる.

● 複素平面において,点A( )と点B( )があり,線分ABを直径とする円の方程式

 複素数を  とすると,

円周角の定理と複素数平面での2直線のなす角を参照)

あるいは,

円の中心が ,円の半径が となるので,

と表すこともできる.

 

【問題演習】
    金沢工業大学 2002年度 数学(A-2) III

 

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初版:2004年7月1日,最終更新日: 2007年10月13日

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