現在の数式のサイズは 3 です。
このエントリーをはてなブックマークに追加
このページ
KIT数学ナビゲーション
関連する他のページを見るには知識構造の可視化を利用してください.
応用分野: 1・サイン・コサイン三角形を用いた三角関数の相互関係の導出余弦定理三角関数の相互関係中線定理2直線が垂直に交わる条件

三平方の定理(ピタゴラスの定理)

∠ACB=90°となる直角三角形ABCにおいて,各辺の長さを, とすると,

 

の関係が成り立つ.この関係を三平方の定理あるいはピタゴラスの定理という.

■証明

△ABCにおいて,辺BCを一辺と知る正方形CBDEを描き,同じく辺ACを一辺とする正方形ACGHを下図の左側のように描く.直線EDと直線GHの交点をFとし,直線FGと直線ABの交点をIとする.

 

まず,直線ABと直線IFの関係を調べる.

四角形CEFGは長方形で,,∠CEF=90°となる.

よって,

△FCE≡△ABC (∵2辺とその間の角が等しい)

次に,∠AICについて考える.

∠ECF=∠ICA (∵対角は等しい),∠ECF=∠CBA (△FCE≡△ABC)より,

∠ICA=∠CBA

よって,

△ABC∽△ACI (∵2角が等しい)

以上より,

∠AIC=90°

次に,面積が保たれる変形を繰り返すことにより,定理を証明する.

正方形BCEDの面積=平行四辺形BCFJの面積 (∵BC共通で高さが同じ) ・・・・・・(1)

正方形ACGHの面積=平行四辺形ACFKの面積 (∵AC共通で高さが同じ) ・・・・・・(2)

さらに,

平行四辺形BCFJの面積=長方形BILJの面積 (∵BJ共通で高さが同じ)  ・・・・・・(3)

平行四辺形ACFKの面積=長方形AILKの面積 (∵AK共通で高さが同じ)  ・・・・・・(4)

(1),(2),(3),(4)より,

四角形ABJKの面積=正方形BCEDの面積+正方形ACGHの面積 ・・・・・・(5)

一方,

JD=FE=AC,BD=BC,∠ACB=∠JDB=90°より△ABC≡△JBD

よって,

JB=AB=

となり,

四角形ABJKは正方形 ・・・・・・(6)

となる.(5),(6)より,

正方形ABJKの面積=正方形BCEDの面積+正方形ACGHの面積

となる.すなわち,

 

となる.

三平方の定理の証明は,この他にもいろいろな方法がる.

 

ホーム>>カテゴリー分類>>幾何>>三平方の定理(ピタゴラスの定理)

最終更新日: 2016年3月2日

[ページトップ]

金沢工業大学

google翻訳英語版