演習問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=x-2y}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=x^2+y^2}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=x^2-3xy+2y^2}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=\frac{y}{x}}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=\frac{x-y}{x+y}}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=\sqrt{3x-4y}}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=e^{xy}}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=log\left(x-y\right)}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=2sin\sqrt{xy}}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z={tan}^{-1}\frac{y}{x}}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=x^3+3x^{2}y+2y^3}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=e^{-ax}\left(\sin by+\cos by\right)}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=\frac{5x+3y}{3x+2y}}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=x^y}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=3x^3-6x^{2}y+2x{y}^2+5y^4}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=\frac{2x^2+y^3}{x^3-3y^2}}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=\sqrt{5x^2+7y^3}}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=e^{x^3+2y^2}}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=\log (7x^4+5y^3)}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=\sin 4x^2+\cos 5y^3}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=3\sin \left(4x^3-7y^4\right)}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=5\cos x{y}^2}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z={\sin }^{-1}xy}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z={\cos }^{-1}2xy}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z={\sin }^{-1}3x^2{y}^3}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z={\cos }^{-1}\frac{y}{x}}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z={\tan }^{-1}xy}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z={\tan }^{-1}\sqrt{\frac{x}{y}}}$

次の関数について ${\displaystyle f_x\left(1,-2\right)}$ と ${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=x^2+xy-y^2}$

次の関数について${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f\left(1,-2\right)}$ と ${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}f\left(-1,2\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=\sqrt{x^2-xy}}$

次の関数について ${\displaystyle f_x\left(1,-2\right)}$ と ${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)={sin}^{-1}\frac{x}{y}}$

次の関数について ${\displaystyle f_x\left(1,-2\right)}$ と ${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=\frac{3x^{2}y+2x{y}^2}{x^2-y^2}}$

次の関数について ${\displaystyle f_x\left(1,-2\right)}$ と ${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=\left(x+y\right)\left(x^2+x{y}^3\right)}$

次の関数について ${\displaystyle f_x\left(1,-2\right)}$ と ${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)={\tan }^{-1}\frac{y}{x}}$

次の関数の微小変化 ${\displaystyle dx,dy}$ に対する全微分を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=\frac{xy}{2x+y}}$

次の関数の微小変化 ${\displaystyle dx,dy}$ に対する全微分を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=e^{x}logy}$

次のことを証明せよ．

${\displaystyle z=f\left(\frac{y}{x}\right)}$ ならば, ${\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=0}$

である．

次のことを証明せよ．

${\displaystyle z=f\left(x^2-y^2\right)}$ ならば ${\displaystyle y\frac{\partial z}{\partial x}+x\frac{\partial z}{\partial y}=0}$

である．

次のことを証明せよ．

${\displaystyle z=\frac{1}{x}f\left(\frac{y}{x}\right)}$ ならば ${\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}+z=0}$ である．

${\displaystyle z=x^2+y^2,x=t-sint,y=1-cost}$ のとき， ${\displaystyle \frac{dz}{dt}}$ を求めよ．

${\displaystyle z=xy,x=2t^2+1,y=t^2+3t+1}$ のとき， ${\displaystyle \frac{dz}{dt}}$ を求めよ．

${\displaystyle z=xtany,x={sin}^{-1}2t,y={cos}^{-1}2t}$ のとき， ${\displaystyle \frac{dz}{dt}}$ を求めよ．

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z=3x-2y}$

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z=x^3+y^3}$

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z=2x^2-3xy+4y^2}$

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z=\frac{y}{x}}$

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z=\frac{x-y}{x+y}}$

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z}$${\displaystyle =\sqrt{2x-3y}}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=e^{xy}}$

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z=\log \left(x-y\right)}$

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z=sin\sqrt{xy}}$

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z={tan}^{-1}\frac{y}{x}}$

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z=\sqrt{x^2-y^3}}$

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z=\sqrt{\frac{x}{y}}}$

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z=\cos x^2{y}^2}$

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z={\sin }^{-1}xy}$

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z={\cos }^{-1}2xy}$

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z=\log \left(x^2+y^2\right)}$

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z=e^{2x^3{y}^2}}$

${\displaystyle z=f\left(x,y\right),x=u\cos \theta -v\sin \theta ,}$ ${\displaystyle y=u\sin \theta +v\cos \theta }$ のとき

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial v^2}}$

となることを示せ．

${\displaystyle z=f\left(x,y\right),x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta }$ のとき

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial z}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {\theta }^2}}$

となることを示せ．

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle 3x^2+2xy+y^2=1}$

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle y^2=4px}$

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle y=e^{x+y}}$

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle log\sqrt{x^2+y^2}-{tan}^{-1}\frac{y}{x}=0}$

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle x^3+y^3-3axy=0}$

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ の点 ${\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}$ における接線の方程式を求めよ．

${\displaystyle x^3+y^3-xy=0}$

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ の極値を調べよ．

${\displaystyle x^2-2xy+3y^2=8}$

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ の極値を調べよ．

${\displaystyle x^{2}y-x{y}^2+128=0}$

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ の極値を調べよ．

${\displaystyle x^2{y}^2-2x+9y^2=0}$

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ の極値を調べよ．

${\displaystyle x^3-12xy+2y^3=0}$

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ の極値を調べよ．

${\displaystyle x^4-16xy+3y^4=0}$

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ の極値を調べよ．

${\displaystyle x^4+4x^2+3y^3-2y=0}$