${(D - α)}^{n} y = 0$ の一般解

${(D - α)}^{n} y = 0$ の一般解は

$y = (c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + \dots + c_{n - 1} x^{n - 1}) e^{α x}$

となる．

■導出

${(D - α)}^{n} y = 0$

${(D - α)}^{n} [1 \cdot y] = 0$

$e^{α x} e^{- α x} = 1$ より

${(D - α)}^{n} [e^{α x} e^{- α x} y] = 0$ ･･････(1)

となる． $e^{- α x} y = z$ とおき，(1)に代入すると

${(D - α)}^{n} [e^{α x} z] = 0$

となる．微分演算子の基本公式

$f (D) [e^{α x} y] = e^{α x} f (D + α) y$

より

$e^{α x} {(D + α) - α}^{n} z = 0$

$e^{α x} D^{n} z = 0$

$e^{α x} \neq 0$ より，両辺を $e^{α x}$ で割ると

$D^{n} z = 0$

$D^{n} y = 0$ の一般解より

$z = (c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + \dots + c_{n - 1} x^{n - 1})$ ･･････(2)

$z = e^{- α x} y$ であるので(2)は

$e^{- α x} y = (c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + \dots + c_{n - 1} x^{n - 1})$

となる． $e^{- α x} \neq 0$ より，両辺を $e^{- α x}$ で割ると

$y = (c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + \dots + c_{n - 1} x^{n - 1}) \frac{1}{e^{- α x}}$

よって

$y = (c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + \dots + c_{n - 1} x^{n - 1}) e^{α x}$

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年6月9日