特異解をもつ微分方程式の例

■ 微分方程式 ${(y^{'})}^{2} + 4 x y^{'} - 4 y = 0$ の解き方

⇔ ${(y^{'} + 2 x)}^{2} - 4 x^{2} - 4 y = 0$
⇔ ${(y^{'} + 2 x)}^{2} - 4 (y + x^{2}) = 0$

ここで $u = y + x^{2}$ とおくと $u^{'} = y^{'} + 2 x$ より，与式は

${(u^{'})}^{2} - 4 u = 0$ ⇔ ${(u^{'})}^{2} = 4 u$ ⇔ $u^{'} = \pm 2 \sqrt{u}$

と書ける．上式は変数分離形の微分方程式であり，以下のように積分できる．

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \pm \int d x$

⇔ $\sqrt{u} = \pm x + C$ （ $C$ ：積分定数）
⇔ $u = {(\pm x + C)}^{2} = x^{2} \pm 2 C x + C^{2}$

ここで $c = \pm C$ とおき， $u = y + x^{2}$ を代入すると，一般解

$y = 2 c x + c^{2}$ （ $c$ ：任意定数）

が得られる．

また， ${(u^{'})}^{2} - 4 u = 0$ の解として $u = 0$ も存在するので， $u = y + x^{2} = 0$ より，

$y = - x^{2}$

が得られる．この解は一般解から得られるものではないので特異解である．