定数係数線形非同次微分方程式

$n$ $n$ 階線形非同次微分方程式

$y^{(n)} + A_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots$ $y^{(n)} + A_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots$ $+ A_{1} (x) y^{'} + A_{0} (x) y$ $= F (x)$ ･･････（1）

の特殊解を $Y_{0} (x)$ とする．線形同次微分方程式

$y^{(n)} + A_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots$ $+ A_{1} (x) y^{'} + A_{0} (x) y = 0$

の一般解を

$u (x, c_{1}, \cdot \cdot \cdot, c_{n})$ 　　( $c_{1}, \dots, c_{n}$ は任意定数)

とする．このとき，微分方程式（1）の一般解は

$y = u (x, c_{1}, \cdot \cdot \cdot, c_{n}) + Y_{0} (x)$

■線形微分方程式の解法

$n$ 階線形微分方程式

$y^{(n)} + A_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots$ $+ A_{1} (x) y^{'} + A_{0} (x) y$ $= F (x)$

の一般解は次のようにして求められる．

(1) $y^{(n)} + A_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots$ $+ A_{1} (x) y^{'} + A_{0} (x) y = 0$ の $n$ 個の解で1次独立な $u_{1} (x), \cdot \cdot \cdot, u_{n} (x)$ を求める．

(2) $y^{(n)} + A_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots$ $+ A_{1} (x) y^{'} + A_{0} (x) y$ $= F (x)$ の特殊解 $Y_{0} (x)$ を求める．

(3) 求める一般解は $y = c_{1} u_{1} (x) + \cdot \cdot \cdot + c_{n} u_{n} (x) + Y_{0} (x)$ 　ただし， $c_{1}, \cdot \cdot \cdot, c_{n}$ は任意定数である．

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　最終更新日： 2023年6月13日