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特異解をもつ微分方程式の例

■ 微分方程式 ${\displaystyle {(y^{\prime })}^2+4x{y}^{\prime }-4y=0}$ の解き方

⇔  ${\displaystyle {(y^{\prime }+2x)}^2-4x^2-4y=0}$
⇔  ${\displaystyle {(y^{\prime }+2x)}^2-4(y+x^2)=0}$

ここで ${\displaystyle u=y+x^2}$ とおくと ${\displaystyle u^{\prime }=y^{\prime }+2x}$ より，与式は

${\displaystyle {(u^{\prime })}^2-4u=0}$  ⇔  ${\displaystyle {(u^{\prime })}^2=4u}$  ⇔  ${\displaystyle u^{\prime }=\pm 2\sqrt{u}}$

と書ける．上式は変数分離形の微分方程式であり，以下のように積分できる．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{2\sqrt{u}}du}=\pm {\displaystyle \int dx}}$

 ⇔  ${\displaystyle \sqrt{u}=\pm x+C}$ （${\displaystyle C}$：積分定数）
 ⇔  ${\displaystyle u={(\pm x+C)}^2=x^2\pm 2Cx+C^2}$

ここで ${\displaystyle c=\pm C}$ とおき， ${\displaystyle u=y+x^2}$ を代入すると，一般解

${\displaystyle y=2cx+c^2}$ （${\displaystyle c}$：任意定数）

が得られる．

また， ${\displaystyle {(u^{\prime })}^2-4u=0}$ の解として ${\displaystyle u=0}$ も存在するので， ${\displaystyle u=y+x^2=0}$ より，

${\displaystyle y=-x^2}$

が得られる．この解は一般解から得られるものではないので特異解である．

　

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