ラプラシアン

${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle y}$ の関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ に対して

${\displaystyle \Delta f=f_{xx}+f_{yy}={\displaystyle {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}}}$

で定義される２階の微分作用素 ${\displaystyle \Delta }$ をラプラシアンまたはラプラス微分作用素という．また，微分方程式

${\displaystyle \Delta f=0}$

をラプラスの微分方程式という．

一般に， ${\displaystyle n}$ 変数の関数

${\displaystyle u=f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)}$

に対しても，記号 ${\displaystyle \Delta }$ を用いて形式的に

${\displaystyle \Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}+...+\frac{{\partial }^2}{\partial x_n^2}}$

と定めて

${\displaystyle \Delta u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_2^2}+...+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_n^2}}$

の意味で使われる．そして

${\displaystyle \Delta u=0}$

を満たす関数 ${\displaystyle u=f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)}$ を調和関数という．

　

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2025年1月6日