合成関数の微分のチェーンルール

$y = f_{1} (x_{1})$ $y = f_{1} (x_{1})$ ， $x_{1} = f_{2} (x_{2})$ $x_{1} = f_{2} (x_{2})$ ， $x_{3} = f_{3} (x_{3})$ $x_{3} = f_{3} (x_{3})$ の関係がある合成関数

$y = f_{1} (f_{2} (f_{3} (x_{3})))$ $y = f_{1} (f_{2} (f_{3} (x_{3})))$

は $x_{3}$ $x_{3}$ が独立変数である．この場合，

$\frac{dy}{d x_{3}} = \frac{dy}{d x_{1}} \cdot \frac{d x_{1}}{d x_{2}} \cdot \frac{d x_{2}}{d x_{3}}$ $\frac{dy}{d x_{3}} = \frac{dy}{d x_{1}} \cdot \frac{d x_{1}}{d x_{2}} \cdot \frac{d x_{2}}{d x_{3}}$

となる．

一般的に, $y = f_{1} (x_{1})$ $y = f_{1} (x_{1})$ ， $x_{1} = f_{2} (x_{2})$ $x_{1} = f_{2} (x_{2})$ ， $x_{2} = f_{3} (x_{3})$ $x_{2} = f_{3} (x_{3})$ ，･･････， $x_{n} = f_{n} (x_{n})$ $x_{n} = f_{n} (x_{n})$

の関係があるとき

$\frac{dy}{d x_{n}} = \frac{dy}{d x_{1}} \cdot \frac{dy}{d x_{1}} \cdot \frac{dy}{d x_{1}} \cdot \dots \dots \cdot \frac{d x_{n - 1}}{d x_{n}}$ $\frac{dy}{d x_{n}} = \frac{dy}{d x_{1}} \cdot \frac{dy}{d x_{1}} \cdot \frac{dy}{d x_{1}} \cdot \dots \dots \cdot \frac{d x_{n - 1}}{d x_{n}}$

となる．このような関係をチェーンルールという．

■導出

合成関数の導関数より

$y = f_{1} (x_{1})$ $y = f_{1} (x_{1})$

$x_{1} = f_{2} (f_{3} (x_{3})) = g_{3} (x_{3})$ $x_{1} = f_{2} (f_{3} (x_{3})) = g_{3} (x_{3})$

$y = f_{1} (g_{3} (x_{3}))$ $y = f_{1} (g_{3} (x_{3}))$ の合成関数と考えると

$\frac{dy}{d x_{3}} = \frac{dy}{d x_{1}} \cdot \frac{d x_{1}}{d x_{3}}$ $\frac{dy}{d x_{3}} = \frac{dy}{d x_{1}} \cdot \frac{d x_{1}}{d x_{3}}$ ･･････(1)

$x_{1} = f_{2} (x_{2})$ $x_{1} = f_{2} (x_{2})$

$x_{2} = f_{3} (x_{3})$ $x_{2} = f_{3} (x_{3})$

$x_{1} = f_{2} (f_{3} (x_{3}))$ $x_{1} = f_{2} (f_{3} (x_{3}))$ の合成関数と考えると

$\frac{d x_{1}}{d x_{3}} = \frac{d x_{1}}{d x_{2}} \cdot \frac{d x_{2}}{d x_{3}}$ $\frac{d x_{1}}{d x_{3}} = \frac{d x_{1}}{d x_{2}} \cdot \frac{d x_{2}}{d x_{3}}$ ･･････(2)

となる．したがって(1)に(2)を代入することにより

$\frac{dy}{d x_{3}} = \frac{d y_{1}}{d x_{2}} \cdot \frac{d x_{1}}{d x_{2}} \cdot \frac{d x_{2}}{d x_{3}}$ $\frac{dy}{d x_{3}} = \frac{d y_{1}}{d x_{2}} \cdot \frac{d x_{1}}{d x_{2}} \cdot \frac{d x_{2}}{d x_{3}}$

となる．

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最終更新日： 2023年5月25日