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合成関数の微分のチェーンルール

y = f 1 x 1 x 1 = f 2 x 2 x 3 = f 3 x 3 の関係がある合成関数

y = f 1 f 2 f 3 x 3

x 3 が独立変数である.この場合,

dy d x 3 = dy d x 1 d x 1 d x 2 d x 2 d x 3

となる.

一般的に, y = f 1 x 1 x 1 = f 2 x 2 x 2 = f 3 x 3 , ・・・・・・ , x n = f n x n

の関係があるとき

dy d x n = dy d x 1 dy d x 1 dy d x 1 d x n 1 d x n

となる.このような関係をチェーンルールという.

■導出

合成関数の導関数より

y = f 1 x 1

x 1 = f 2 f 3 x 3 = g 3 x 3

y = f 1 g 3 x 3 の合成関数と考えると

dy d x 3 = dy d x 1 d x 1 d x 3  ・・・・・・(1)

x 1 = f 2 x 2

x 2 = f 3 x 3

x 1 = f 2 f 3 x 3 の合成関数と考えると

d x 1 d x 3 = d x 1 d x 2 d x 2 d x 3  ・・・・・・(2)

となる.したがって(1)に(2)を代入することにより

dy d x 3 = d y 1 d x 2 d x 1 d x 2 d x 2 d x 3

となる.

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最終更新日: 2020年3月31日

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