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楕円の接線の方程式

楕円  ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$  の周上の点P${\displaystyle \left(x_0,y_0\right)}$における接線の方程式は

${\displaystyle \frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1}$

である．

■導出計算

楕円の方程式

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$

の両辺をx で微分すると

${\displaystyle \frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}\cdot \frac{dy}{dx}=0}$

となり，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ について整理すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}}$

よって，P点での傾きは，${\displaystyle -\frac{b^{2}x}{a^{2}y}}$ となる． 以上より，点Pにおける接線の方程式は

${\displaystyle y-y_0=-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}\left(x-x_0\right)}$

となるる．この接線の方程式を更に以下のように変形する．

まず，両辺に${\displaystyle \frac{y_0}{b^2}}$ を掛けて

${\displaystyle \frac{y_0}{b^2}\left(y-y_0\right)=-\frac{x_0}{a^2}\left(x-x_0\right)}$

${\displaystyle \frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=\frac{{x_0}^2}{a^2}+\frac{{y_0}^2}{b^2}}$

${\displaystyle \frac{{x_0}^2}{a^2}+\frac{{y_0}^2}{b^2}=1}$  より

${\displaystyle \frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1}$

となり，上で示した接線の方程式が得られた．

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最終更新日： 2023年5月30日

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