複素の絶対値の性質

複素数 $$ に関して

${\displaystyle \left|z\right|=\left|-z\right|=\left|\overline{z}\right|}$

が成り立つ．

■証明

${\displaystyle z=a+bi}$ とすると

${\displaystyle -z=-a-bi}$ （ $-z$ を参照 ）

${\displaystyle \overline{z}=a-bi}$ （ 共役な複素数を参照 ）

となる．

複素数の絶対値の定義より

${\displaystyle \left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}}$

${\displaystyle \left|-z\right|=\sqrt{{\left(-a\right)}^2+{\left(-b\right)}^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{a^2+b^2}}$

${\displaystyle \left|\overline{z}\right|=\sqrt{a^2+{\left(-b\right)}^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{a^2+b^2}}$

したがって

${\displaystyle \left|z\right|=\left|-z\right|=\left|\overline{z}\right|}$

が成り立つ．

 

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最終更新日 2025年11月28日