複素数の絶対値の性質

複素数 $$ に関して

${\displaystyle z\overline{z}={\left|z\right|}^2}$

が成り立つ．

■証明

${\displaystyle z=a+bi}$ とすると

${\displaystyle \overline{z}=a-bi}$ （ 共役な複素数を参照 ）

となる．

${\displaystyle z\overline{z}=\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)}$ ${\displaystyle =a^2-abi+abi-{\left(bi\right)}^2}$ ${\displaystyle =a^2+b^2}$

${\displaystyle {\left|z\right|}^2={\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2}$ ${\displaystyle =a^2+b^2}$　　（複素数の絶対値の定義を参照）

したがって

${\displaystyle z\overline{z}={\left|z\right|}^2}$

が成り立つ．

 

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最終更新日 2025年11月28日