複素数の絶対値の性質

複素数$\alpha$ ， $\beta$ に関して

${\displaystyle \left|\alpha \beta \right|=\left|\alpha \right|\left|\beta \right|}$

が成り立つ．

■証明

${\displaystyle {\left|\alpha \beta \right|}^2}$ ${\displaystyle =\left(\alpha \beta \right)\left(\overline{\alpha \beta }\right)}$　　（∵${\displaystyle z\overline{z}={\left|z\right|}^2}$，ここを参照）

${\displaystyle =\alpha \beta \overline{\alpha }\overline{\beta }}$　　（∵${\displaystyle \overline{\alpha \beta }=\overline{\alpha }\overline{\beta }}$ ，ここを参照）

${\displaystyle =\alpha \overline{\alpha }\beta \overline{\beta }}$

${\displaystyle ={\left|\alpha \right|}^2{\left|\beta \right|}^2}$

したがって

${\displaystyle \left|\alpha \beta \right|=\left|\alpha \right|\left|\beta \right|}$

 

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最終更新日 2025年11月28日