ド・モアブルの定理

$z = r (cos θ + i sin θ)$ のとき

$z^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)$

ただし $n$ は任意の整数（負の整数，0，正の整数）

■証明

まず

$z = r (cos θ + i sin θ)$ ･･････(1)

$z^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)$ ･･････(2)

とおく．

$n = 1$ のとき，(2)は

$z = r (cos θ + i sin θ)$

となり，(1)そのものであるので， $n = 1$ のとき(2)は成り立つ．

次に， $n = m$ ：自然数) のとき(2)が成り立つとする．

すると

$z^{m} \cdot z$ $= r^{m} (cos m θ + i sin m θ) r (cos θ + i sin θ)$

$= r^{m + 1} \{\cos m θ \cos θ - \sin m θ \sin θ + i (\sin m θ \cos θ + \cos m θ \sin θ)\}$

$= r^{m + 1} {cos (m θ + θ) + i sin (m θ + θ)}$ （ $∵$ 三角関数の加法定理より）

$= r^{m + 1} {cos (m + 1) θ + i sin (m + 1) θ}$

よって，帰納法より自然数，言いかえると正の整数について(2)が成り立つ．

$n = 0$ のときは(2)は左辺＝右辺＝ $1$ となり成り立つ．（ $z \neq 0$ では， $z^{0} = 1$ としている）

さらに， $n$ が負の整数場合は $m$ を自然数とすると， $n = - m$ となり，

$z^{- m}$ $= \frac{1}{z^{m}}$

$= \frac{1}{r^{m} (cos m θ + i sin m θ)}$

$= r^{- m} \frac{cos m θ - i sin m θ}{{cos}^{2} m θ + {sin}^{2} m θ}$

$= r^{- m} cos (- m θ) + sin (- m θ)$

$(∵ cos m θ = cos (- m θ)$ ， $- sin m θ = sin (- m θ))$

となり， $n$ が負の整数でもなりたつ．

以上より(2)は全ての整数で成り立つ．

最終更新日：2025年11月20日