ド・モアブルの定理

${\displaystyle {\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta }$ 　･･････(1)

ただし ${\displaystyle n}$ は任意の整数（負の整数，0，正の整数）

■証明

${\displaystyle n=1}$ のとき

左辺は

${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta }$　･･････(2)

右辺は

${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta }$　･･････(2)

となり，(1)は成り立つ．

${\displaystyle n=m}$   ($m$ は正の整数)のとき(１)が成り立つと仮定すると

${\displaystyle {\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^m=\left(\cos m\theta +i\sin m\theta \right)}$　･･････(3)

が成り立つ．

(3)の両辺に$\cos \theta +i\sin \theta$ を掛ける．

${\displaystyle {\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^m\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}$${\displaystyle =\left(\cos m\theta +i\sin m\theta \right)\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}$　･･････(4)

(4)の左辺は

${\displaystyle {\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^m\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}$${\displaystyle ={\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^{m+1}}$　･･････(5)

(4)の右辺は

${\displaystyle \left(\cos m\theta +i\sin m\theta \right)\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}$

${\displaystyle =\left(\cos m\theta +i\sin m\theta \right)\cos \theta }$${\displaystyle +\left(\cos m\theta +i\sin m\theta \right)\cdot i\sin \theta }$

${\displaystyle =\cos m\theta \cos \theta +i\sin m\theta \cos \theta }$${\displaystyle +\cos m\theta \cdot i\sin \theta +i\sin m\theta \cdot i\sin \theta }$

${\displaystyle =\cos m\theta \cos \theta +i\sin m\theta \cos \theta }$${\displaystyle +i\cos m\theta \sin \theta -\sin m\theta \sin \theta }$

${\displaystyle =\cos m\theta \cos \theta -\sin m\theta \sin \theta }$${\displaystyle +i\left(\sin m\theta \cos \theta +\cos m\theta \sin \theta \right)}$

$\because$ 三角関数の加法定理を適用すると

${\displaystyle =\cos \left(m\theta +\theta \right)+i\sin \left(m\theta +\theta \right)}$

${\displaystyle =\cos \left(m+1\right)\theta +i\sin \left(m+1\right)\theta }$　･･････(6)

(5) ，(6)より，${\displaystyle n=m+1}$ のときも(1)は成り立つ，したがって，数学的帰納法より，$n$ が正の整数のとき(1)は成り立つ．

${\displaystyle n=0}$ のときは(2)は左辺＝右辺＝$1$ となり成り立つ．（複素数${\displaystyle z\ne 0}$ では，${\displaystyle z^0=1}$ としている）

さらに， ${\displaystyle n}$ が負の整数場合は，$m$ を正の整数とすると， ${\displaystyle n=-m}$ となり

${\displaystyle {\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^n={\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^{-m}}$

${\displaystyle =\frac{1}{{\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^m}}$

上記より，$m$が正の整数の場合，(1)が成り立つ．よって

${\displaystyle =\frac{1}{\cos m\theta +i\sin m\theta }}$

分母，分子に${\displaystyle \cos m\theta -i\sin m\theta }$ を掛ける．

${\displaystyle =\frac{\cos m\theta -i\sin m\theta }{\left(\cos m\theta +i\sin m\theta \right)\left(\cos m\theta -i\sin m\theta \right)}}$

${\displaystyle =\frac{\cos m\theta -i\sin m\theta }{{\left(\cos m\theta \right)}^2+{\left(\sin m\theta \right)}^2}}$

${\displaystyle {\left(\cos m\theta \right)}^2+{\left(\sin m\theta \right)}^2=1}$   (ここを参照)より

${\displaystyle =\cos m\theta -i\sin m\theta }$

${\displaystyle =\cos \left(-n\theta \right)-i\sin \left(-n\theta \right)}$

${\displaystyle =\cos n\theta +i\sin n\theta }$

となり， ${\displaystyle n}$ が負の整数でも成り立つ．

以上より，(1)は全ての整数で成り立つ．

 

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最終更新日：2026年4月27日