ド・モアブルの定理

$z=r\left(cos\theta +isin\theta \right)$ のとき

$z^n=r^n\left(cosn\theta +isinn\theta \right)$

ただし ${\displaystyle n}$ は任意の整数（負の整数，0，正の整数）

■証明

まず，

$z=r\left(cos\theta +isin\theta \right)$  ･･････(1)

$z^n=r^n\left(cosn\theta +isinn\theta \right)$  ･･････(2)

とおく．

${\displaystyle n=1}$ のとき，(2)は

$z=r\left(cos\theta +isin\theta \right)$

となり，(1)そのものであるので， ${\displaystyle n=1}$ のとき(2)は成り立つ．

次に， ${\displaystyle n=m}$ ：自然数) のとき(2)が成り立つとする．

すると，

 

よって，帰納法より自然数，言いかえると正の整数について(2)が成り立つ．

${\displaystyle n=0}$ のときは(2)は

左辺＝右辺＝$1$

よって，${\displaystyle n=0}$ も成り立つ．

さらに， ${\displaystyle n}$ が負の整数場合はm を自然数とすると， ${\displaystyle n=-m}$ となり，

${\displaystyle z^{-m}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{z^m}}$

${\displaystyle =\frac{1}{r^m\left(cosm\theta +isinm\theta \right)}}$

${\displaystyle =r^{-m}\frac{cosm\theta -isinm\theta }{{cos}^{2}m\theta +{sin}^{2}m\theta }}$

${\displaystyle =r^{-m}cos\left(-m\theta \right)+sin\left(-m\theta \right)}$

• ${\displaystyle \left(\because cosm\theta =cos\left(-m\theta \right)\right.}$ ，

• ${\displaystyle \left.-sinm\theta =sin\left(-m\theta \right)\right)}$

となり， ${\displaystyle n}$ が負の整数でもなりたつ．

以上より(2)は全ての整数で成り立つ．

 

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最終更新日：2025年4月1日