共役な複素数

複素数$a+bi$ （$a$，$b$は実数）に対して数$a-bi$ を数$a+bi$ の共役な複素数という．すなわち，共役な複素数は実数部は同じで虚数部は-1を掛けたもになる．

複素数$a+bi$ を$\alpha$で表すと，共役な複素数は$\overline{\alpha }$ と表される．

また，複素数$a-bi$の共役な複素数は$a+\left(-b\right)\left(-1\right)i=a+bi$ となる．このことから $a+bi$と$a-bi$を互いに共役な複素数という．

共役な複素数は次のような特徴をもつ．

• 共役な複素数の和は実数

  $\left(a+bi\right)+\left(a-bi\right)=2a$

• 共役な複素数の積は実数

  $\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)=a^2+b^2$

実数の範囲で2次方程式$a{x}^2+bx+c=0$ （$a$，$b$，$c$は実数） の解を考えていた場合，判別式$D<0$の場合解なしとなって解を表現することができなかったが，複素数まで扱う数を拡大すると2つの共役な複素数が解となる．解は

${\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

${\displaystyle =\frac{-b\pm \sqrt{4ac-b^2}i}{2a}}$

${\displaystyle =\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i}$ 　

となる．

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最終更新日 2023年2月25日