共役な複素数

複素数 $a+bi$  （ $a$ ， $b$ は実数）に対して数 $a-bi$  を数 $a+bi$  の共役な複素数という．すなわち，共役な複素数は実数部は同じで虚数部は ${\displaystyle -1}$ を掛けたものになる．

複素数 $a+bi$  を $z$ で表すと，共役な複素数は $\overline{z}$ と表される．

${\displaystyle z=a+bi}$ ， ${\displaystyle \overline{z}=a-bi}$

点 $z$ と 点 $\overline{z}$ は複素平面において $x$ 軸(実軸)に関して対象な関係である．

また，複素数 $a-bi$ の共役な複素数は $a+\left(-b\right)\left(-1\right)i=a+bi$ となる．このことから $a+bi$ と $a-bi$ を互いに共役な複素数という．

共役な複素数は次のような特徴をもつ．

• 複素数とその共役な複素数の和は実数（複素数の和の計算）

  $\left(a+bi\right)+\left(a-bi\right)=2a$

• 複素数とその共役な複素数の差は純虚数（複素数の差の計算）

  $\left(a+bi\right)-\left(a-bi\right)=2bi$

• 複素数とその共役な複素数の積は実数（複素数の積の計算）

  $\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)=a^2+b^2$

• $z$が実数 $\iff$ $\overline{z}=z$  ⇒ 参考

• $z$が純虚数  $\iff$ ${\displaystyle \overline{z}=-z}$　（ただし，$z\ne 0$ ） ⇒ 参考

実数の範囲で2次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$  （ $a$ ， $b$ ， $c$ は実数） の解を考えていた場合，判別式 $D<0$ の場合解なしとなって解を表現することができなかったが，複素数まで扱う数を拡大すると2つの共役な複素数が解となる．解は

${\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

${\displaystyle =\frac{-b\pm \sqrt{4ac-b^2}i}{2a}}$

${\displaystyle =\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i}$

となる．

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最終更新日 2025年12月2日