$z^{n} = α$ の解

複素数の方程式

$z^{n} = α$ ･･････(1)

の解 $z_{k}$ は

$α = r (cos θ + i sin θ)$ $(r > 0)$

とすると

$z_{k} = \sqrt[n]{r} (\cos \frac{θ + 2 π k}{n} + i \sin \frac{θ + 2 π k}{n})$ $(k = 0, 1, 2, ・・・・, n - 1)$ ･･････(2)

となる．

■導出計算

(1)の解を

$z = R (cos φ + i sin φ) (R > 0)$ ･･････(3)

$R^{n} (cos n φ + i sin n φ)$ $= r (cos θ + i sin θ)$ ･･････(4)

となる．

(4)の両辺を比較することにより

$R^{n} = r$ ･･････(5)

$cos n φ = cos θ$ ， $sin n φ = sin θ$ ･･････(6)

の関係が得られる．

$R$ ， $r$ は正の実数であるから，(5)より

$R = \sqrt[n]{r}$ ･･････(7)

(6)より

$n φ = θ + 2 π \cdot k$ （ $k$ は整数）

$∴ φ = \frac{θ + 2 π \cdot k}{n}$ ･･････(7)

となる．

整数 $k$ に対応する(1)の解を $z_{k}$ で表すと

$z_{k} = \sqrt[n]{r} (\cos \frac{θ + 2 π k}{n} + i \sin \frac{θ + 2 π k}{n})$ ･･････(8)

となる．

ところが，(8)より $z_{k + n} = z_{k}$ となるので，異なる複素数となるのは， $k$ の値が $0$ ， $1$ ， $2$ ，･･････， $n - 1$ の $n$ 個となる．

よって解は

$z_{k} = \sqrt[n]{r} (\cos \frac{θ + 2 π k}{n} + i \sin \frac{θ + 2 π k}{n})$ $(k = 0, 1, 2, ・・・・, n - 1)$

となる．

最終更新日： 2025年11月20日