${\displaystyle z^n=\alpha }$の解 

まず

$z^n=\alpha$  ･･････(1)

の解を

$\alpha =r\left(cos\theta +isin\theta \right)$     $(r>0)$  

とおくと

となる．

■導出計算

(1)の解を

${\displaystyle z=R\left(cos\phi +isin\phi \right)(R>0)}$  ･･････(3)

とおく． ド・モアブルの定理より(1)は

• ${\displaystyle R^n\left(cosn\phi +isinn\phi \right)}$

• ${\displaystyle =r\left(cos\theta +isin\theta \right)}$  ･･････(4)

(4)の両辺を比較することにより

$R^n=r$ ･･････(5)

$cosn\varphi =cos\theta ,sinn\varphi =sin\theta$ ･･････(6)

R，rは正の実数であるから，(5)より

$R=\sqrt[n]{r}$ ･･････(7)

(6)より

${\displaystyle n\varphi =\theta +2\pi ·k}$

${\displaystyle \therefore \varphi =\frac{\theta +2\pi ·k}{n}}$ ･･････(7)

ところが，(8)より$z_{k+n}=z_k$  となるので，${\displaystyle k}$ の値いは${\displaystyle 0}$ ，${\displaystyle 1}$ ，${\displaystyle 2}$ ，･･････，${\displaystyle n-1}$ となる．

よって解は求められた．

 

ホーム>>カテゴリー分類>>複素数 >>$z^n=\alpha$ の解

最終更新日： 2023年2月25日