ケーリー・ハミルトンの定理

行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$には次に示すケーリー・ハミルトンの定理が成り立つ．

$A^2-\left(a+d\right)A+\left(ad-bc\right)E=O$

この等式は，行列の次数を下げるのに用いられる．

${\displaystyle A^2=\left(a+d\right)A-\left(ad-bc\right)E}$

のように式を変形すると，次数をひとつ下げることができる．

■証明

${\displaystyle A^2-\left(a+d\right)A+\left(ad-bc\right)E}$

${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}$${\displaystyle -\left(a+d\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}$${\displaystyle +\left(ad-bc\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}$

${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab+bd\\ ac+cd& bc+d^2\end{array}\right)}$${\displaystyle -\left(\begin{array}{cc}{a}^2+ad& ab+bd\\ ac+cd& ad+d^2\end{array}\right)}$${\displaystyle +\left(\begin{array}{cc}ad-bc& 0\\ 0& ad-bc\end{array}\right)}$

${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}bc-ad& 0\\ 0& bc-ad\end{array}\right)}$${\displaystyle +\left(\begin{array}{cc}ad-bc& 0\\ 0& ad-bc\end{array}\right)}$

${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)}$

${\displaystyle =O}$

となり，証明された．　

 

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最終更新日： 2022年9月6日