行列を用いた回転

点Q${\displaystyle \left(X,Y\right)}$は 点P${\displaystyle \left(x,y\right)}$を${\displaystyle \beta }$ 回転させたものである． 点Pの座標の${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle y}$を ${\displaystyle r}$ と${\displaystyle \alpha }$ で表わすと，

${\displaystyle \begin{array}{l}x=rcos\alpha \\ y=rsin\alpha \end{array}}$    ・・・・・・ (1)

点Qの座標の${\displaystyle X}$ ，${\displaystyle Y}$を ${\displaystyle r}$ と${\displaystyle \alpha }$，${\displaystyle \beta }$ で表わすと，

${\displaystyle \begin{array}{l}X=rcos\left(\alpha +\beta \right)\\ Y=rsin\left(\alpha +\beta \right)\end{array}}$

加法定理を用いると，

${\displaystyle \begin{array}{l}X=r\left(cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta \right)\\ Y=r\left(sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta \right)\end{array}}$

となる．(1) を代入すると，

${\displaystyle \begin{array}{l}X=xcos\beta -ysin\beta \\ Y=xsin\beta +ycos\beta \end{array}}$

となる．この関係を行列を用いて表わすと，

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}cos\beta & -sin\beta \\ sin\beta & cos\beta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}$

となる．

行列 ${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}cos\beta & -sin\beta \\ sin\beta & cos\beta \end{array}\right)}$  を回転行列といい，${\displaystyle R_{\theta }}$ で表す．

 

 

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最終更新日： 2023年2月9日